Кручение

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. КРУТЯЩИЕ МОМЕНТЫ И ИХ ЭПЮРЫ

Кручение – это такой вид нагружения стержня, при котором в его поперечных сечениях возникает единственный внутренний силовой фактор - крутящий момент, обозначаемый M _к (или М_z).Стержень, работающий на кручение, называют валом.

Деформация кручения возникает при нагружении стержня парами сил, плоскости действия которых перпендикулярны к его продольной оси. Моменты этих пар будем называть скручивающими и обозначать буквой М.

На рис. 6.1, а представлен вал, работающий на кручение под действием приложенных к нему скручивающих моментов. При этом на рис. 6.1, б внешний момент условно изображён в виде двух кружков: кружок с точкой обозначает силу, направленную на наблюдателя, а кружок с крестом – силу, направленную от наблюдателя.

Во всех случаях будем считать, что алгебраическая сумма скручивающих моментов равна нулю, т.е. вал находится в равновесии.

Рис.6.1

Условимся о следующем правиле знаков: крутящий момент считается положительным, если при взгляде на сечение со стороны внешней нормали п он направлен против хода часовой стрелки (рис. 6.2). Соответствующий внешний скручивающий момент направлен по ходу часовой стрелки.

Рис. 6.2

Применяя метод сечений и рассматривая равновесие отсечённой части (рис. 6.1, в,г), приходим к выводу, что крутящий момент в произвольном поперечном сечении вала численно равен алгебраической сумме скручивающих моментов, приложенных к отсечённой части:

(6.1)

Помимо сосредоточенных скручивающих моментов на вал может действовать и распределённая по некоторому закону моментная нагрузка интенсивностью m (z).

Рис. 6.3

Установим дифференциальную зависимость между интенсивностью m и крутящим моментом М _к. Для этого рассмотрим стержень с моментной нагрузкой m (рис. 6.3, а), из которого вырежем элемент длиной dz (рис. 6.3, б)

На него будут действовать моментная нагрузка m = const, которую можно считать равномерно распределённой ввиду малости dz, и уравновешивающие положительные крутящие моменты (в левом сечении – М _к, в правом – М _к +dМ_к, где dМ _к – приращение крутящего момента). Составим уравнение равновесия для элемента:

;

откуда

(6.2)

График, показывающий закон изменения крутящих моментов по длине вала, называется эпюрой крутящих моментов. Положительные значения на эпюре будем откладывать вверх от горизонтальной базисной линии, а отрицательные значения – вниз. Построение эпюры крутящих моментов принципиально ничем не отличается от построения эпюры продольных сил.

Пример. Построить эпюру крутящих моментов для вала, изображённого на рис. 6.4, а.

Решение. Разбиваем вал на три участка: I, II, III. Используя метод сечений, на участке I мысленно проводим в произвольном месте сечение, отбрасываем правую часть вала и рассматриваем равновесие отсечённой левой части с приложенным в месте сечения положительным крутящим моментом М _к и внешней нагрузкой. Тогда в соответствие с принятым правилом знаков для участка I получаем

I. ;

Проведя произвольные сечения на остальных участках вала, получим соответственно:

II. (отбрасываем левую часть);

.

III. (отбрасываем левую часть);

.

Рис. 6.4

По полученным данным строим эпюру М _к (рис. 6.4, б). На участке I величина крутящего момента линейно зависит от координаты сечения, так как действует равномерно распределённая моментная нагрузка интенсивностью m. На участках I и II крутящий момент не зависит от координаты z, поэтому эпюра имеет вид прямоугольников. В тех сечениях, где приложены внешние сосредоточенные моменты, получаются скачки на величину этих моментов.

НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ ПРИ КРУЧЕНИИ ВАЛА КРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

Теория кручения вала круглого сплошного или кольцевого поперечного сечения основана на следующих допущениях, подтверждаемых экспериментально:

1. Сечения, плоские и нормальные к оси вала до деформации, остаются плоскими и нормальными к его оси и после деформации (гипотеза плоских сечений).

2. Радиусы, проведённые в сечении, остаются прямыми и поворачиваются на один и тот же угол.

3. Расстояния между поперечными сечениями не изменяются, т.е. продольные волокна не удлиняются и не укорачиваются.

Согласно принятым допущениям, кручение представляет деформацию сдвига материала, заключённого между соседними поперечными сечениями, вызванную относительным поворотом этих сечений вокруг оси z. Вследствие этого в поперечных сечениях действуют только касательные напряжения τ, направленные перпендикулярно соответствующему радиусу (рис. 6.5).

Рис. 6.5

Крутящий момент в сечении, являющийся результирующим моментом внутренних касательных сил, действующих на элементарных площадках dA, расположенных на расстоянии ρ от центра сечения, можно выразить уравнением

. (6.3)

Характер распределения напряжений по сечению установим из геометрической картины деформации вала. Для этого из исследуемого вала (рис. 6.6) выделим элементарный цилиндр двумя бесконечно близкими сечениями I и II произвольного радиуса ρ. Пусть φ – угол закручивания сечения I относительно заделки, φ +d φ – сечения II. Следовательно, угол закручивания участка вала длиной dz равен d φ.

Рис. 6.6

С использованием указанных допущений изобразим деформацию элементарного цилиндра, условно закрепив левое сечение (рис.6.7).

Рис. 6.7

Рассмотрим деформацию прямоугольного элемента ABCD бесконечно малой толщины. Радиусы ОА и ОВ, оставаясь прямыми, повернутся на угол d φ и займут положение соответственно ОА₁ и ОВ₁. При этом образующие АD и ВС перейдут в новое положение А₁D и В₁С составив с первоначальным угол g. Так как длина этих отрезков практически неизменна, то деформация элемента состоит в изменении первоначально прямых углов на величину угла g. Таким образом, рассмотренный элемент находится в условиях чистого сдвига, и на его гранях действуют касательные напряжения. Здесь g является углом сдвига и

.

Учитывая, что АА₁ = ρ d φ, АD = dz, получаем

. (6.4)

Величина называется относительным (погонным) углом закручивания и имеет размерность рад/м. Учитывая это, формулу (6.4) можно записать так:

. (6.5)

По закону Гука при чистом сдвиге получим

, (6.6)

где G и - константы для всех точек сечения и, следовательно, касательные напряжения в поперечном сечении изменяются по линейному закону прямо пропорционально расстоянию ρ точек от центра сечения. Покажем эпюру касательных напряжений в сечении (рис.6.8). Во всех точках окружности радиуса ρ напряжение τ = const и направлено по касательной к окружности. Очевидно максимальные напряжения будут у поверхности вала при ρ = r.

Рис. 6.8

Таким образом, выражение (6.6) можно переписать в виде

.

Подставляя выражение (6.6) для касательного напряжения в уравнение (6.3), будем иметь

.

Отсюда получим формулу для относительного угла закручивания круглого вала:

, (6.7)

где произведение GI_ρ называют жёсткостью сечения при кручении;

I_ρ – полярный момент инерции сечения, который является геометрической характеристикой жёсткости круглого вала при кручении.

Для определения взаимного угла закручивания двух сечений, расположенных на расстоянии l, воспользуемся соотношением (6.7), из которого, интегрируя обе части равенства, найдём

(6.8)

В частном случае при M _к = const, GI_ρ = const получим

. (6.9)

Для определения касательного напряжения в любой точке сечения достаточно в формулу (6.6) подставить выражение для θ по формуле (6.7). Тогда

. (6.10)

Максимальное касательное напряжение, действующее на периферии сечения вала

, (6.11)

где - полярный момент сопротивления сечения, который является геометрической характеристикой прочности круглого вала при кручении.

РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ ПРИ КРУЧЕНИИ

Обеспечение прочности при кручении элементов строительных конструкций круглого сечения производится по методу предельных состояний на основе условия

, (6.12)

где R _ср – расчётное сопротивление материала стержня на срез. Для пластичных материалов принимают R _ср » 0,58 R.

Помимо условий прочности должны соблюдаться и условия жёсткости, которые формулируются в отношении относительного угла закручивания в виде

, (6.13)

где _расч – расчётный относительный угол закручивания, величина которого задаётся техническими условиями в зависимости от назначения вала.

При проектировочном расчёте из двух диаметров вала, полученных из условия прочности (6.12) и условия жёсткости (6.13), принимается большее значение.

СРАВНИТЕЛЬНАЯ ОЦЕНКА ВАЛОВ КРУГЛОГО И КОЛЬЦЕВОГО ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ

Из эпюры касательных напряжений (см. рис.6.8) видно, что, удаляя материал вблизи оси вала, его прочность снижают весьма незначительно, так как эта часть материала для сплошного вала является малонагруженной. При равных площадях сечения, а следовательно, при одинаковой массе валов кольцевое сечение обладает большими полярными моментами инерции I _ρ и сопротивления W _ρ, чем сплошное, т.е. вал кольцевого сечения оказывается жёстче и прочнее. Наконец, при равной прочности или равной жёсткости, т.е. при одинаковых значениях W _ρ и I _ρ, полый вал получается легче сплошного.

КРУЧЕНИЕ ВАЛОВ НЕКРУГЛОГО СЕЧЕНИЯ

В инженерной практике довольно часто кручению подвергаются стержни, имеющие не круглое, а прямоугольное, треугольное, эллиптическое и другие сечения. В этих случаях гипотеза плоских сечений неприменима, так как сечения искривляются (депланируют). Коробление поперечных сечений, получающееся в результате того, что отдельные их точки при деформации смещаются вдоль оси стержня, называется депланацией.

Это обстоятельство не позволяет применить методы сопротивления материалов для решения задачи о напряжениях и перемещениях при кручении некруглых валов.

Для целого ряда сечений эта задача решена методами теории упругости. Приведём здесь некоторые окончательные результаты. Отметим, что в валах произвольного сечения, как и в круглых, касательные напряжения при кручении направлены по касательной к контуру.

Если поперечное сечение имеет внешние углы, то в них касательные напряжения отсутствуют. Действительно, раскладывая напряжение τ вблизи угла, как показано на рис.6.10, на две составляющие по нормалям к сторонам угла, получаем напряжения τ₁ и τ₂. По закону парности на свободной поверхности вала должны возникнуть касательные напряжения τ ^′ ₁ = τ₁ и τ^′‌₂ = τ₂. Но внешняя поверхность свободна от нагрузки. Таким образом, τ^′₁ = τ^′‌₂ = 0. Следовательно, вблизи внешнего угла касательные напряжения в поперечном сечении обращаются в нуль.

Рис. 6.10

Наибольшие касательные напряжения, относительные и полные углы закручивания определяют по формулам

; (6.14)

; (6.15)

. (6.16)

Здесь I _к и W _к – некоторые геометрические характеристики, которые условно называют моментом инерции и моментом сопротивления при кручении.

Наиболее часто встречаются валы прямоугольного сечения. В этом случае эпюры касательных напряжений имеют вид, показанный на рис. 6.11. Наибольшие напряжения возникают у поверхности посередине длинных сторон прямоугольника (в точках С и D), и определяются по формуле (6.14), где

. (6.17)

Здесь h – длинная сторона прямоугольника;

b – короткая его сторона.

Напряжения, возникающие у поверхности посредине коротких сторон (в точках А и B), меньше и выражаются через τ_max следующим образом:

. (6.18)

Для определения углов закручивания в формулах (6.15) и (6.16) принимают

(6.19)

Коэффициенты a, b и g, зависящие от отношения h/b, приведены в справочных таблицах [6] на стр.8.

Отметим, что прочность и жёсткость прямоугольного вала значительно ниже, чем круглого с равновеликой площадью сечения. Эта разница возрастает с увеличением отношения сторон прямоугольника.

Рис. 6.11

Дата добавления: 2014-01-06