Космические скорости

После запуска первого советского искусственного спутника Земли в октябре 1957 г. и исторического полета 12 апреля 1961 г. Ю. А. Гагарина вокруг Земли быстрыми темпами начала раз­виваться техника космичес­ких полетов, и в настоящее время уже много искусствен­ных спутников вращается вокруг Земли, а некоторое число космических снарядов, запущенных человеком, стало спутниками Солнца.

Законы полета спутников Земли подобны законам вра­щения планет вокруг Солнца. Если представить себе косми­ческий снаряд как обычный снаряд или просто камень, запущенный горизонтально с некоторой высоты h со скоростью v, то все возможные его траекто­рии в отсутствие влияния атмосферы (рис.4), очевидно, подобны возможным движениям планет.

Рис.4

При малой начальной скорости v, меньшей

траектории снаряда представляют собой отрезки эллипсов, фокусы которых совпадают с центром Земли. При совсем малой начальной скорости эти отрезки с большой точностью можно считать отрезками парабол.

При скорости v_кр, равной 7,93 км/с, траектория снаряда будет окружностью, и снаряд станет спутником Земли. Скорость движе­ния снаряда по круговой орбите легко вычислить из условия, что центростремительное ускорение снаряда должно равняться ускорению свободного падения g. Действительно, ускорение сво­бодного падения на высоте h

(10)

где g₀ — ускорение на поверхности Земли на расстоянии r₀ от ее центра; тогда

или

(11)

Если <<r₀, то

(12)

представляет собой скорость движения спутника по круговой орбите с радиусом, равным радиусу Земли; эту скорость принято называть первой космической скоростью.

Когда начальная скорость больше v_кр, но меньше

траектория снаряда представляет собой эллипс, причем в бли­жайшем к точке вылета фокусе этого эллипса находится центр Земли. При v=v_п траектория снаряда имеет вид параболы и сна­ряд, движущийся по ней, не вернется на Землю. «Параболическая» скорость относительно Земли определяется также по формуле (5), только вместо следует поставить , где — масса Земли. Учитывая формулу (10) для величины ускорения силы тяготения, можно написать

(13)

Подставляя это в (5), находим параболическую скорость для Земли:

(14)

В случае h << r₀, или когда снаряд посылают по касательной к по­верхности Земли,

Эта величина называется второй космической скоростью.

Следовательно, если снаряд посылается горизонтально с высоты h со скоростью, большей то он будет двигаться по гиперболической траектории и навсегда покинет область притяжения Земли, или станет самостоятельным спутником Солн­ца — маленькой искусственной планетой.

Все эти расчеты производятся без учета влияния Солнца и пла­нет на движение космического снаряда. Иначе говоря, считается, что Земля неподвижна и спутник движется относительно нее, а вся система (Земля — спутник) неизменно продолжает движение вокруг Солнца.

Так как масса спутника ничтожно мала по сравнению с массой Земли, то центр инерции системы Земля — спутник практически совпадает с центром инерции Земли. Кроме того, когда расстояние между спутником и центром Земли ничтожно мало по сравнению с расстоянием от Земли до Солнца, то влиянием изменения притя­жения Солнца на орбиту спутника можно пренебречь. При большом удалении спутника от Земли, конечно, следует расчет вести с уче­том сил притяжения Солнца, Луны и других планет Солнечной системы. С другой стороны, при движении спутников Земли по кру­говым орбитам вокруг нее это движение зависит и от неоднородно­сти поля сил тяготения Земли, вызванной как отклонением поверх­ности Земли от сферы, так и изменением плотности Земли (особенно в ее верхних слоях).

Как показывают более сложные расчеты, третья космическая скорость, т е. скорость, которую следует сообщить снаряду на Земле, чтобы он покинул пределы Солнечной системы, равна

(15)

Приближенно ее можно рассчитать следующим образом. Прежде всего заме­тим, что , что следует из сравнения (11) и (14), или: параболическая скорость в раз больше круговой. Так же, очевидно, будет и для Земли или, точнее, для тела, движущегося по орбите Земли, которую мы считаем круговой. Если бы нам удалось вывести снаряд на орбиту, совпадающую с орбитой Земли, то он двигался бы по этой орбите со скоростью Земли относительно Солнца v₀, примерно равной 30 км/с (29,76 км/с). Значит, ему нужно было бы сообщить еще скорость

(16)

чтобы он покинул пределы Солнечной системы. Иными словами, этому снаряду следует сообщить кинетическую энергию

(17)

относительно системы координат, движущейся по орбите так же, как и Земля (т — масса снаряда). А для того чтобы удалить снаряд из поля притяжения Земли, ему нужно сообщить скорость

или кинетическую энергию

(18)

которая пойдет на работу против сил тяготения Земли. Следовательно, если мы сообщим снаряду скорость v_косм относительно Земли, или кинетическую энергию

(19)

он должен покинуть Солнечную систему. Из (19) следует:

(20)

Подставляя сюда числа, находим: v_косм 16,75 км/с.

Из этого рассмотрения следует, что законы движения планет и вообще небес­ных тел те же, что и законы для падающего или брошенного камня, и они описы­вают свободное падение, т. е. движение под действием одной лишь силы тяготения.

Сравнение этих явлений напоминает нам легенду о яблоке, в которой рас­сказывается о том, как размышления по поводу яблока, упавшего с дерева, привели Ньютона к открытию закона всемирного тяготения.

Может быть, эта легенда и неправильно описывает открытие Ньютоном за­кона, но она очень четко подчеркивает, что падение яблока с яблони, движение космического корабля и движение небесных тел — физические явления одного класса, явления, подчиняющиеся одним и тем же закономерностям.

Дата добавления: 2014-01-06