Лекция№17 Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции. Силы инерции в неинерциальной системе отсчета, которая равномерно вращается. Центробежная сила инерции

Системы отсчета, движущиеся ускоренно относительно одной из инерциальных систем, называются неинерциальными. Они свя­заны с телами отсчета, находящимися во взаимодействии с внешними (по отношению к системе) телами.

Рассмотрим, как различается характер движения тел относительно инерциальной системы и системы неинерциальной, перемещающей прямолинейно и ускоренно относительно первой. Как и в случае инерциальных систем,

(1)

Но теперь — некоторая функция времени.

Дифференцируя по t получим:

(2)

(3)

В этом случае не только скорости тела, но и ускорения его в обеих системах различны:

(4)

Абсолютная скорость равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей.

Абсолютное ускорение равно геометрической сумме относительного и переносного ускорений.

Пример. Пусть корабль движется параллельно линии берега с ускорением jЕсли тело покоится на палубе корабля, то относительно берега оно движется с переносной скоростью, равной скорости движения корабля, и, поскольку эта скорость изменяется, обладает переносным ускорением . Если само тело перемещается по палубе со скоростью и ускорением ,то перемещение относительно берега происходит со скоростью и ускорением

Этот результат, полученный для прямолинейного поступательного переносного движения, справедлив для любого поступательного переносного движения, поскольку перемещение в этом случае может быть заменено суммой элементарных прямолинейных пере­мещений.

Составим уравнение движения точки массой m относительно подвижной системы отсчета . Положим ускорение точки относительно неподвижной системы равным , а действующую силу равной F. Тогда для неподвижной системы в соответствии со вто­рым законом Ньютона

(5)

Второй закон Ньютона в системах отсчета, движу­щихся с ускорением, в число сил, действующих на тело, включает взятое с обратным знаком произведение мас­сы тела на переносное ускорение.

Это произведение, учитывающее ускоренное движение системы отсчета, носит название силы инерции. Для составления уравнений движения тела относительно системы отсчета, движущейся с ус­корением, к результирующей сил, приложенных к телу, надо доба­вить силу инерции.

Рассмотрим несколько конкретных примеров движения тел.

На тележке, покрытой гладким стеклом, лежит шарик. Сооб­щим тележке ускорение (рис. 1). Что произойдет с шариком?

Рис. 1. Шарик на гладкой поверхности движущейся тележки.

В системе координат, связанной с Землей шарик остается в по­кое, ибо на него в направлении движения тележки не действуют ни­какие силы (сила трения мала, и ею можно пренебречь). Относительно тележки шарик перемещается с ускорением

В системе координат, связанной с тележкой, шарик приобретает ускорение, хотя на шарик при этом никакие силы не действуют. Наблюдение за движением шарика позволяет нам сделать заклю­чение, что система отсчета движется с ускорением, и при составле­нии уравнения движения шарика необходимо считать, что на него

действует сила инерции: F=-m, откуда ускорение шарика относительно тележки:

Положим, что в лифте на пружинных весах подвешен груз мас­сой т. На него действуют сила тяжести mg, направленная вниз, и упругая сила R со стороны растянутой пружины, направленная вверх. Так как векторы сил направлены по одной прямой, то, приняв ее за ось координат, мы можем оперировать с модулями ука­занных векторов. Под действием уравновешивающих друг друга сил G=mg и R груз находится в покое.

Если лифт начал двигаться с ускорением , направленным вверх, то точка прикрепления пружины начнет двигаться вверх с тем же ускорением. Вследствие инерции витки пружины и груз движутся вначале с ускорением меньшим, чем ускорение лифта. Поэтому пружина несколько растянется, груз сместится вниз, после чего приобретет ускорение, равное ускорению лифта. В инерциальной системе отсчета, связанной с Землей (скажем, относительно стенок шахты лифта), груз приобретает ускорение под действием раз­ности возросшей упругой силы пружины, тянущей ее вверх, и силы тяжести G, направленной вниз. С учетом знаков сил второй закон динамики запишется в виде

Когда груз приобретет то же ускорение, что и лифт, то

Сила натяжения пружины:

В системе отсчета, движущейся вместе с лифтом, на груз дей­ствуют сила тяжести G и упругая сила растянутой пружины причем теперь , что мы обнаруживаем по показаниям дина­мометра. Но хотя равенство между и G нарушено, груз, когда растяжение пружины? достигает некоторой максимальной величины, остается в покое. Следовательно, в условие равновесия груза мы должны ввести силу инерции — jom с учетом знаков:

Откуда сила натяжения пружины равна:

Если ускорение лифта направлено вниз, то в начале движения точка подвеса приближается к грузу, который некоторое время пе­ремещается с ускорением , и сила , действующая со стороны пружины на груз, уменьшается (так как уменьшается деформация пружины). Возникшее превышение величины силы тяжести G над величиной упругой силы сообщает грузу ускорение, равное ускорению лифта.Уравнение движения относительно неподвижной системы от­счета запишется на основании второго закона динамики в виде

Когда груз приобретет то же ускорение, что и лифт, уравнение движения примет вид:

так как /'=0.

Натяжение пружины равно:

Относительно системы отсчета, связанной с лифтом, груз нахо­дится в покое, хотя вес его теперь не уравновешен упругой силой. Следовательно, вес груза частично уравновешивается силой инер­ции.

Откуда сила натяжения пружины равна:

Заметим, что в случае, если лифт движется с ускорением, рав­ным ускорению свободного падения jo=g, сила натяжения пружины обращается в нуль (тело становится невесомым). Так как в непод­вижной системе отсчета лифт, пружина и груз движутся с одина­ковым ускорением, то не возникает их перемещений друг относи­тельно друга, а следовательно и взаимодействий.

В системе, связанной с лифтом, наступление состояния невесо­мости свидетельствует о том, что переносное ускорение стало равно ускорению силы тяжести.

Таким образом, задача о движении тела относительно неинерциальной системы отсчета решается и первым и вторым способом. Принципиальной разницы между ними нет.

Отметим следующую особенность сил инерции в неинерциальных системах — особенность, которая только и отличает их от всех других сил: силы инерции не имеют противодействующей силы, так как нельзя указать тела, со стороны которого они приложены. Воз­никновение сил инерции также результат передачи движения, но не данному телу, а телам отсчета, относительно которых изучается движение тела.

  Рис.2  

Рассмотрим диск, вращающийся вокруг перпендикулярной к нему вертикальной оси z' с угловой скоростью (рис. 2). Вместе с диском вращается надетый на спицу шарик, соединенный с центром диска пружиной. Шарик занимает на спице такое положение, при котором сила натя­жения пружины F_np оказывается равной произ­ведению массы шарика т на его ускорение w_n= -R, R — радиус-вектор, прове­денный к шарику из центра диска, его модуль R дает расстояние шарика от центра диска (6)

Относительно системы отсчета, связанной с диском, шарик по­коится. Это можно формально объяснить тем, что, кроме силы (6), на шарик действует сила инерции направленная вдоль радиуса от центра диска.

(7)

Силу инерции (7), возникающую во вращающейся (по отно­шению к инерциальным системам) системе отсчета, называют центробежной силой инерции. Эта сила действует

на тело во вращающейся системе отсчета, независимо от того, покоится тело в этой системе

или движется относительно нее со скоростью v'.

Рис.3

Если положение тела во вращающейся системе отсчета характе­ризовать радиусом-вектором г', центробежную силу инерции мож­но представить в виде двойного векторного произведения:

(8)

Действительно, вектор b=[r', ] направлен перпендикулярно к векторам и F_u6 «на нас» (рис.3) и равен по модулю r' sinR/ Векторное произведение взаимно перпендикулярных векто­ров mи b совпадает по направлению с F_u6 и имеет модуль, равный mb= mR= F_uб

Дата добавления: 2014-01-06