Математическое ожидание. Числовые характеристики случайной величины

Числовые характеристики случайной величины

Для решения многих практических задач совсем необязательно знать все возможные значения СВ и соответствующие им вероятности, а достаточно указать отдельные числовые параметры, которые позволяют в удобной компактной форме отразить существенные особенности СВ. Эти характеристики СВ, являющиеся не функциями, а числами, называют числовыми характеристиками СВ. Их назначение – в сжатой форме выразить наиболее важные черты распределения. К таким числовым характеристикам относятся математическое ожидание, дисперсия, моменты различных порядков и т.д.

Рассмотрим некоторые наиболее важные числовые характеристики и изучим их свойства.

Возможные значения СВ могут быть сосредоточены вокруг некоторого центра. Этот центр является некоторым средним значением СВ, вокруг которого группируются остальные ее значения. Для характеристики такой особенности распределения СВ служит математическое ожидание, которое иногда называют центром распределения или средним значением СВ.

Для математического ожидания СВ Х приняты следующие обозначения: М[Х],М(Х),М_х,m_х, МХ.

Пусть имеется ДСВ Х, принимающая значения х₁, х₂,…,х_n с вероятностями р₁, р₂,…,р_n соответственно.

Опр. Математическим ожиданием МХ дискретной СВ Х называется сумма произведений всех возможных значений СВ на соответствующие вероятности появления этих значений, т.е. .

Если ДСВ принимает бесконечное счетное множество значений, то ее МХ выражается формулой , причем МХ существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.

Задача. Дискретная СВ Х задана рядом распределения

х
р	0.2	0.3	0.4	0.1

Найти МХ этой СВ.

МХ = 2*0.2+5*0.3+8*0.4+19*0.1=7

Для введения понятия математического ожидания, вспомним вероятностный смысл

- вероятность попадания СВ в интервал (х, х + Δх).

Опр. Математическим ожиданием МХ непрерывной СВ Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [а,в], называется определенный интеграл.

Если возможные значения СВ распределены на всей числовой оси,то . Здесь предполагается, что несобственный интеграл сходится, т.е. существует.

Задача. Непрерывная СВ Х задана дифференциальной функцией распределения

. Найти МХ этой СВ.

.

Появление такого результата следовало ожидать, так как график ф-ции f(x) симметричен относительно х=2, т.е. х = 2 – среднее значение СВ.

Рассмотрим основные свойства математического ожидания, предварительно введя понятие независимой СВ.

Опр. Две СВ называются независимыми, если закон распределения вероятностей одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае СВ называются зависимыми.

1. Математическое ожидание алгебраической суммы двух СВ Х и У равна алгебраической сумме их МХ, т.е.

М(Х У)=М(Х) М(У).

2. Математическое ожидание произведения двух независимых СВ Х и У равно произведению их МХ, т.е

М(ХУ) = МХ*МУ.

3. Математическое ожидание постоянной величины С равно самой постоянной, т.е.

МС = С.

4. Постоянный множитель может быть вынесен за знак математического ожидания,т.е.

М(СХ)= СМХ.

5. Математическое ожидание отклонения Х – МХ СВ от ее математического ожидания МХ равно нулю, т.е.

М(Х – МХ)=0.

Разность Х – МХ показывает насколько отклонилось это значение СВ в данном опыте от МХ. Очевидно, что Х – МХ – центрированная СВ относительно центра распределения.

Дата добавления: 2014-01-06