Динамика твердого тела, закрепленного на оси

Набла.

Частная производная.

Пример:

, где

-градиент функции .

1. Градиент всегда направлен в сторону наибольшего возрастания функции.

2. Градиент всегда направлен перпендикулярно к поверхности, на которой функция постоянна.

* * *

Среди сил, действующих на материальную точку, есть такие, которые можно представить в виде градиента:

Такие силы называются потенциальными, а функция - потенциальной энергией.

z

z

mg

неустойчивое положение равновесия

F F

F F

X

положение равновесия

Силы, которые действуют на материальную точку, можно разделить на потенциальные и все остальные.

- полная энергия точки.

Полная энергия точки сохраняется, если мощность всех сил, действующих на точку, кроме потенциальной, равна нулю.

- мощность всех сил, кроме потенциальной.

Среди непотенциальных сил есть такие, мощность которых равна нулю – консервативные силы.

Следует заметить, что одни и те же силы() при определенных условиях, могут быть и консервативными и неконсервативными.

- всегда консервативная.

Среди консервативных сил, можно выделить такие, которые пропорциональны скорости в точке приложения силы и перпендикулярны ее направлению – такие силы называются гироскопическими.

Силы, мощность которых отрицательна, называются диссипативными.

Кинетической энергией системы, называется сумма кинетических энергий всех ее частиц.

Потенциальной энергией системы, называется сумма потенциальных энергий всех ее частиц.

Полной энергией системы, называется , тогда, где - сумма мощностей всех сил (внутренних и внешних), действующих в системе, кроме потенциальной.

Если , то полная энергия системы сохраняется.

Системы, в которых энергия сохраняется, называется консервативными.

Твердое тело, закрепленное на оси, обладает одной степенью свободы, то есть для определения его положения, достаточно одной независимой переменной, в качестве которой будем использовать угол Эйлера (1.2)

, ось Z совпадает с осью поворота.

Z

Y

X

- радиус траектории.

Пусть направлена вдоль Z.

Рассмотрим момент импульса твердого тела:

(1.2)

Найдем проекцию на ось Z:

Где ; - расстояние от точки i до оси вращения; - момент инерции твердого тела, относительно оси вращения Z.

Таким образом:

- сумма моментов внешних сил, действующих на твердое тело.

Мы рассмотрели случай, когда направлен вдоль оси Z, если направлен в другую сторону, то , а в общем случае .

Уравнение движения твердого тела с неподвижной осью будет:

Дата добавления: 2014-01-06