Методы, основанные на алгебраическом интерполировании

Рассмотрим уравнение (4.1). Пусть - некоторое приближение к его решению. Разложим левую часть уравнения по формуле Тейлора в точке

. (4.2)

Метод Ньютона. Ограничимся в разложении (4.2) первыми двумя слагаемыми

и разрешим полученное выражение относительно х

.

Последнее соотношение принимается в качестве базового для формирования вычислительного процесса. Он описывается формулой

(4.3)

и называется методом Ньютона. Заметим, что правило (4.3) имеет вполне определённый геометрический смысл.

Действительно, рассмотрим уравнение касательной к графику функции в точке

и определим её точку пересечения с осью ох. Имеем , откуда

.

Из сравнения полученного выражения с (4.2) следует вывод, что

  абсцисса точки пересечения касательной, проведённой к графику функции в точке и представляет собой следующее приближение к решению уравнения (4.1) (Рисунок 4.2).  

Рисунок 4.2. Метод Ньютона

По этой причине метод Ньютона называют ещё методом касательных.

Метод хорд. Рассмотрим (4.3). Заменим в нём

на .

В результате этого получим новое вычислительное правило

(4.4)

называемое методом хорд.

Выясним его геометрический смысл.

Рассмотрим точки кривой , и проведем через них прямую

.

Найдем, далее, ее точку пересечения с осью абсцисс. Имеем

, .

Сравнивая полученные выражения с соотношением (4.4), приходим к выводу, что

  абсцисса точки пересечения прямой, проходящей через точки кривой, определяемые двумя последними приближениями, представляет собой следующее приближение к решению уравнения (4.1) (Рисунок 4.3).  

Рисунок 4.3. Метод хорд

Сходимость, оценка погрешности. Рассмотрим эти вопросы на примере метода Ньютона.

Рассмотрим отображение

,

где , - левая часть уравнения (4.1), .

Заметим, что неподвижная точка отображения , если она есть, является и решением уравнения (4.1). Действительно, пусть существует значение х такое, что . Отсюда

,

откуда , что и требовалось.

Далее, пусть , - произвольные значения х, оценим величину . Имеем

Тогда по теореме Лагранжа

где , или

где .

Отсюда следует утверждение.

Если или, что то же , то отображение является сжимающим, последовательность (4.3), им формируемая,является сходящейся и, следовательно, метод касательных в этом случае сходится.  

Предельная точка х последовательности (4.3) является неподвижной точкой отображения и является искомым решением. Погрешность , - n -го приближения к решению, как и ранее, описывается соотношением (3.10).

Дата добавления: 2014-01-06