Метод непосредственного применения законов Кирхгофа

Расчет сложных электрических цепей постоянного тока.

Приведем основные понятия сложной цепи. Несколько последовательно соединенных элементов цепи, по которым проходит один и тот же ток, образуют ветвь. В общем случае ветвь может содержать как сопротивления, так и ЭДС.

Точка соединения трех и более ветвей называют узловой точкой или узлом.

Несколько ветвей, образующих замкнутую электрическую цепь называют контуром.

Универсальным методом расчета токов в сложных цепях постоянного тока с несколькими источниками электрической энергии, является метод непосредственного применения I и II законов Кирхгофа.

К узловым точкам схемы применяется I закон Кирхгофа, согласно которому сумма токов, притекающих к узлу равна сумме токов уходящих от него, т.е. алгебраическая сумма токов в узле равна нулю. ∑I =0

К контурам применяется II закон Кирхгофа, согласно которому алгебраическая сумма ЭДС, действующих в контуре, равна сумме падений напряжений на всех сопротивлениях контура.

∑E = ∑IR

По первому и второму законам Кирхгофа составляют столько уравнений, сколько неизвестных токов в цепи. По первому закону Кирхгофа составляют n-1 уравнений, где n – число узлов в цепи. Недостающие уравнения составляют по второму закону Кирхгофа.

Рассмотрим применение метода на примере сложной электрической цепи, схема которой представлена на рис. 1.10

Рис. 1.10. Сложная электрическая цепь постоянного тока.

Расчет токов, протекающих в ветвях сложной цепи, проводят по следующим правилам:

1. По возможности упрощают схему, заменяя параллельно соединенные сопротивления одним эквивалентным. Для рассматриваемой схемы имеем

R₅₆₇ =

2. Определяют количество искомых токов в цепи и произвольно задают их направления. Количество искомых токов равно количеству ветвей в цепи. В рассматриваемой цепи после упрощения остается три ветви abcd, ad, afed, следовательно, требуется найти значения трех токов I_1, I_2, I_3, для чего необходимо составить три уравнения по законам Кирхгофа.

3. Определяют количество узлов в цепи и для всех узловых точек, кроме одной составляют уравнения по первому закону Кирхгофа. В рассматриваемой цепи две узловые точки a и d. Поэтому, по первому закону Кирхгофа составляется одно уравнение для узловой точки a, в соответствии с заданными направлениями токов

I₁ + I₂ = I₃ (1.11)

4. Выбирают произвольное направление обхода контуров по или против часовой стрелки и по второму закону Кирхгофа составляют недостающие уравнения. Для рассматриваемой цепи необходимо составить еще два уравнения. Они составляются по второму закону Кирхгофа, для контуров adef и abcd в соответствии с выбранными направлениями их обхода. При этом ЭДС и токи, совпадающие с направлением обхода контура, принимают со знаком плюс, а ЭДС и токи, противоположные этому направлению, со знаком минус. В результате получаем

E₁ = I₁ (R₁+R₂+R₃) + I₃R₈ (1.12)

E₂ = I₂ (R₅₆₇+R₄) + I₃R₈ (1.13)

5. Определяют неизвестные токи в ветвях, решая полученную систему уравнений (1.11), (1.12), (1.13). Если какие-то значения при расчете получаются со знаком минус, то это означает, что направления реальных токов противоположны заданным в начале расчета.

Проверку решения задачи осуществляют путем расчета уравнения баланса мощностей: алгебраическая сумма мощностей развиваемых всеми источниками ЭДС равна сумме мощностей, потребляемых всеми сопротивлениями нагрузки. В общем виде уравнение баланса мощностей записывается как ∑EI=∑I²R.

Применительно к рассматриваемой цепи, уравнение баланса мощностей принимает вид:

E₁I₁+E₂I₂ = I (R₁+R₂+R₃) + I (R₄+R₅₆₇) +I R₈ (1.14)

Если направление ЭДС совпадает с направлением тока в ветви, то их произведение включается в левую часть уравнения со знаком плюс, а если не

совпадает, то со знаком минус, т.е. E I (+) и EI (-). Если расчет токов проведен правильно, то левая часть уравнения (1.14) равна его правой части.

Дата добавления: 2014-01-06