Обратный код числа

Для образования обратного кода коэффициент С выбирают равным максимальному n разрядному числу:

C = 2 ⁿ - 1.

Значение числа N в обратном коде определяется выражением:

N = b_nb_{n -1}... b ₁ b ₀ = b_n´ (-2 ⁿ + 1) + b_{n -1} q^{n -1}+…+ b ₁ q ¹+ b ₀ q ⁰,

или

,

где b_n, b_{n -1},..., b ₁, b ₀ - цифры и соответствующие веса цифр: 0 и 1 разрядов числа; b_n - дополнительный знаковый разряд, для неотрицательных чисел равен 0 (b_n = 1), для отрицательных чисел равен единице (b_n = 1); b_nb_{n -1}... b ₁ b ₀ - запись целого n разрядного отрицательного числа в обратном коде; n, п - 1,..., 1, 0 - номера разрядов; b_i ´ 2 ⁱ - весовой коэффициент i -го разряда (i = 0, n -1); (-2 ⁿ + 1) - весовой коэффициент знакового n -го разряда.

Пример 8.16. Пусть в обратном коде четырехразрядное число A имеет вид: 1011 (знаковый разряд 1, число отрицательное). Тогда это число в десятичной системе счисления равно:

A = 1 ´ (-2³ + 1) + 0 ´ 2² + 1 ´ 2¹ + 1 ´ 2⁰ = -7 + 0 + 2 + 1 = -4 (-0100₂).

Пример 8.17. Пусть в обратном коде четырехразрядное число B имеет вид: 0100 (знаковый разряд 0, число неотрицательное). Тогда это число в десятичной системе счисления равно:

B = 0 ´ (-2³ + 1) + 1 ´ 2² + 0 ´ 2¹ + 0 ´ 2⁰ = 0 + 4 + 0 + 0 = +4 (+0100₂).

Найдем правило нахождения (n + 1)-разрядного обратного кода m -разрядного отрицательного числа (m ≤ n). Запишем равенства:

;

;

;

.

Последнее равенство справедливо при 1- b_i = a_i или b_i = 1 - a_i (i = 0, n - 1).

Таким образом, для получения (n + 1)-разрядного обратного кода (цифры - b_i, i = 0, n - 1) целого m -разрядного (m ≤ n) отрицательного числа (цифры - a_j, j = 0, m -1) необходимо:

1) дополнить исходное m -разрядное число -a_{m -1}... а ₁ a ₀ незначащими n - m нулями до разрядности n, т.е получить число: -a_{n -1} a_{n -2} … a_ma_{m -1} ... а ₁ a ₀, a_j =0, j = m, n - 1);

2) получить цифры обратного кода b_i (i = 0, n - 1). Для этого в n разрядах абсолютной величины исходного числа a_i (i= 0, n -1), дополненной до разрядности n, заменить 1 на 0, а 0 на 1 (b_i = 1 - a_i, i = 0, n -1);

3) в разряд с номером n записать 1 (b_n = 1).

Пример 5.18. Найдем шестиразрядный обратный код числа -4₁₀ (-100₂). Знаковый разряд имеет номер 5 (n = 5). Количество разрядов в прямом коде числа равно 3 (m = 3).

1. Дополним исходное число двумя незначащими нулями (n - m = = 5 - 3 = 2) до разрядности 5:

-100₂ = -00100₂.

2. Получим цифры обратного кода b_i (i = 0, 4). В пяти разрядах исходного числа меняем цифры 0 на 1 и 1 на 0:

цифры исходного числа: 00100

цифры обратного кода: 11011

3. Формируем старший знаковый разряд: 11011 ® 1111011.

Таким образом, шестиразрядный обратный код числа -4 равен 1111011.

Заметим, что запись неотрицательного числа при нахождении его обратного кода не изменяется:

;

;

.

Равенство выполняется при b_i = a_i., i = 0, n -1, b_n = 0.

Сформулируем правило образования прямого кода числа из обратного кода целого отрицательного числа.

Для этого необходимо:

1) вычеркнуть n -й разряд обратного кода числа;

2) провести замену в оставшихся n -1 разрядах 1 на 0, 0 на 1;

3) приписать к полученной абсолютной величине числа знак «минус».

Пример 5.19. Пусть обратный код числа равен 1011 (n = 3). Найдем прямой код числа.

1. Вычеркиваем третий разряд обратного кода числа:

1011 ® 011.

2. Проводим замену в оставшихся трех разрядах 1 на 0, 0 на 1:

011

3. Приписываем слева к полученной абсолютной величине числа знак «минус»:

100₂ ® -100₂ (-4₁₀).

Таким образом, четырехразрядный обратный код числа 1011 соответствует числу -4.

Пример 5.20. Пусть обратный код числа равен 1111 (n = 3). Найдем прямой код числа.

1. Вычеркиваем третий разряд обратного кода числа:

1111 ® 111.

2. Проводим замену в оставшихся трех разрядах 1 на 0, 0 на 1:

111

3. Приписываем слева к полученной абсолютной величине числа знак «минус»:

0₂ ® -0₂ (0₁₀).

Таким образом, четырехразрядный обратный код числа 1111 соответствует числу 0.

При использовании обратного кода числа число 0 имеет два представления: 000..00 и 111..11.

Значения минимальных отрицательных и максимальных положительных целых чисел, которые можно хранить в обратном коде в словах размера 1, 2, 4 и 8 байтов, показаны в табл. 9.3. При заполнении таблицы использовались выражения для определения минимального отрицательного и максимального положительного числа:

L _min = -2^{8´ l -1} - 1, (5.3)

L _max = 2^{8´ l -1} - 1, (5.4)

где L _min - минимальное целое отрицательное число, представленное в обратном коде; L _max - максимальное целое положительное число, представленное в обратном коде; l - размер слова в байтах.

Таблица 5.3

Размер слова в байтах	Размер слова в битах	Значение минимального числа	Значение максимального числа
		-(2^7 -1)= -127	(2^7 -1)= 127
		-(2^15 - 1) = -32767	(2^15 - 1) = 32767
		-(2^31 - 1) = -2147483647	(2^31 - 1) = 2147483647
		-(2^63 - 1) < -16 ´ 10^18	(2^63 - 1) < 16 ´ 10^18

Дата добавления: 2014-01-06