Понятие о тензоре инерции тела

Определим, в каком соотношении находятся моменты инерции тела, вычисленные относительно различных координатных осей. Для этого разобьем тело на совокупность материальных точек массой dm (рис.1.65). Затем дважды запишем одно и то же выражение равное, где модуль радиус-вектора материальной точки массой dm. Сложим и перегруппируем оба равенства:

Рис. 1.65.

Как видно из рис. 1.65, это квадраты расстояний от материальной точки до осей координат. Тогда

момент инерции тела относительно оси х;

момент инерции тела относительно оси у;

момент инерции тела относительно оси z, и

Для плоских тел, лежащих в плоскости xy,,, тогда

Для тела в форме шара, если ось вращения проходит через центр масс, то все три момента инерции равны:. Найдем, например,.

Разобьем шар на очень тонкие сферические слои (рис. 1.66) массой, где r - плотность вещества шара..

dV - объем сферического слоя.

Масса сферического слоя

Подставляя в формулу для момента инерции, получим:

Рис. 1.66.

Теперь рассмотрим тело произвольной формы, вращающееся с угловой скоростью вокруг некоторой оси, проходящей через центр масс. Совместим с центром масс начало координат. Момент импульса тела складывается из моментов импульсов материальных точек, составляющих это тело.

Учитывая, что, и применяя свойство двойного векторного произведения (см. Приложение I), получим

Используя разложения векторов и по осям координат, их скалярное произведение можно представить как. Тогда проекции вектора на оси координат запишутся как

Как видно из рис. 1.65, это квадраты расстояний от материальной точки до осей Интегрирование полученной системы уравнений, придем к выражениям для проекций вектора момента импульса всего тела:

Величины есть моменты инерции тела относительно осей а величины

называют центробежными моментами инерции.

Совокупность всех этих величин, записанную в виде матрицы, называют тензором инерции тела

.

Компоненты являются диагональными элементами тензора, остальные - недиагональными. Величины, расположенные симметрично относительно диагонали, попарно равны:. Такой тензор называется симметричным.

Матрицу-столбец вектора можно записать как произведение матрицы момента инерции на матрицу-столбец вектора:

или

Момент импульса тела весьма сложно зависит от распределения масс в теле. Его направление в общем случае не совпадает с направлением угловой скорости вращения.

Если оси координат направить вдоль главных осей инерции тела, то центробежные моменты инерции будут равны нулю, и тензор инерции приводится к диагональному виду:

.

Момент импульса в этом случае.

При вращении тела вокруг главной оси векторы момента импульса и угловой скорости совпадают по направлению.

Дата добавления: 2014-01-06