Уравнение моментов

Основной закон динамики вращательного движения

Кинетическая энергия вращающегося тела

Работа, совершаемая при вращательном движении

Рассмотрим произвольное тело, которое совершает вращательное движение под действием тангенциальной силы (рис.1.67). При повороте на некоторый угол совершается работа, где. Тогда. Учитывая, что есть момент силы относительно оси, получим:

Рис. 1.67

.

Для нахождения полной работы проинтегрируем это выражение:. Если M_z = const., то в этом случае.

Разобьем мысленно вращающееся твёрдое тело на систему материальных точек. Кинетическая энергия каждой материальной точки. Учитывая, что, получим. Тогда кинетическая энергия вращающегося тела (угловая скорость постоянна для всех материальных точек тела и вынесена за знак интеграла). Интеграл есть момент инерции этого тела относительно оси, т. е.

.

Умножив числитель и знаменатель на момент инерции, и, учитывая, что получим:

.

Если тело катится, то оно участвует в двух движениях: поступательном движении центра масс и во вращательном движении вокруг оси, проходящей через этот центр масс. Кинетическая энергия катящегося тела

.

Здесь – линейная скорость центра масс, I ₀ – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.

Тангенциальная сила, совершая работу dA = M_zdφ, увеличивает кинетическую энергию вращающегося тела на

.

Возьмём дифференциал кинетической энергии вращения:. Получим:. Разделим обе части этого равенства на промежуток времени. Тогда. Учитывая, что есть модуль угловой скорости ω, после сокращений получим

,

где – проекция вектора углового ускорения на ось z. Векторное равенство

справедливо в случае, когда вектор момента силы направлен вдоль оси вращения (рис. 1.68).

Полученная формула представляет собой основной закон динамики вращательного движения. Для вращательного движения этот закон играет роль второго закона Ньютона.

Рис. 1.68.

Отсюда вытекает физический смысл момента инерции тела относительно оси вращения. Если на два тела, обладающих разными моментами инерции, подействовать одним и тем же моментом силы, то тело, обладающее большим моментом инерции, получит меньшее угловое ускорение. Момент инерции есть мера инертности тела для вращательного движения.

В центральном поле тяготения многие тела (планеты, спутники) движутся по замкнутым траекториям – орбитам. Законом динамики орбитального движения тела является второй закон Ньютона

.

Выберем некоторую точку О. Умножим векторно обе части этого равенства слева на радиус-вектор, проведенный из точки к центру масс тела

. (1.10)

Орбитальный момент импульса тела. Возьмем производную по времени обеих частей этого равенства:. Вектор равен скорости движения центра масс тела и совпадает по направлению с вектором импульса тела, поэтому, и, следовательно

. (1.11)

Сравнивая (1.10) и (1.11) и учитывая, что есть момент равнодействующей силы относительно точки, получим

. (1.12)

Момент равнодействующей силы относительно некоторой точки выбранной системы отсчета равен производной по времени орбитального момента импульса тела относительно той же точки.

Если тело одновременно участвует и в поступательном, и во вращательном движении, то необходимо учитывать как орбитальный момент импульса, так и собственный момент импульса тела. То есть полный момент импульса тела будет равен сумме этих моментов, а закон динамики имеет вид (1.12), где – результирующий момент всех сил, действующих на тело, – полный момент импульса тела.

Дата добавления: 2014-01-06