Метод наименьших квадратов

Метод 4

Сплайны третьей степени

На практике широкое распространение получили сплайны 3-ей степени, имеющие на всём [ ] непрерывную первую и вторую производные. Эти сплайны называются кубическими, обычно их обозначают. На -ом частичном отрезке сплайн можно представить в виде полинома

Для нахождения коэффициентов используются условия непрерывности сплайна и его 1-ой и 2-ой производных во всех узлах.

x

y

b

a

- условие непрерывности для каждого узла;

- условие непрерывности для первой производной;

- условие непрерывности для второй производной.

В результате образуется система линейных уравнений, решая которую можно найти коэффициенты сплайна

Полином Лагранжа и сплайны в точности проходят через экспериментальные точки () такой подход при аппроксимации экспериментальных данных не всегда оправдан.Дело в том, что данные () полученные экспериментально имеют определенную погрешность.

x

y

Её даже изображают графически. Графически изображают не только полученные значения, но и приделы этих значений. Поэтому аппроксимирующая зависимость не обязана в точности проходить через экспериментальные точки, а только по возможной близости к ним. Пусть аппроксимирующая зависимость, тогда это величина, характеризующая отклонение экспериментальных данных от аппроксимирующей зависимости. Эта величина может быть как положительной, так и отрицательной, что делает её неудобной в качества меры близости данных аппроксимирующей функции. Поэтому удобней использовать квадрат этой величины.

Для того, чтобы аппроксимирующая функция была по возможности близкой ко всем экспериментальным точкам функция должна иметь минимальное из возможных значений. Метод нахождения аппроксимирующей функции использующей это называется методом наименьших квадратов.

Обычно аппроксимирующую зависимость выбирают из некоторого класса функций зависящих от определенного числа параметров.

Параметры подбирают таким образом, чтобы обеспечить минимальное значение этой величины. Используя условия минимума (условие экстремума) для функции, зависящей от нескольких переменных. Мы получили систему уравнений для нахождения параметров

…..

Мы получили систему, число уравнений которой равно числу параметров.

Наиболее часто экспериментальную зависимость аппроксимируют линейной функцией. В этом случае величина

Перепишем полученную систему

Получили систему двух уравнений с двумя неизвестными и.

Аналогичным образом можно получить аппроксимирующую зависимость в виде полинома

Метод наименьших квадратов можно использовать также при получении нелинейных двухпараметрических аппроксимирующих зависимостей. Вид аппроксимирующих зависимостей может быть заранее известен по некоторым, например физическим соображениям. Часто физическая зависимость имеет экспоненциальный вид:

.

Эту зависимость можно привести к линейной с помощью следующих замен и преобразований:

пусть

Тогда получим

Имеющиеся у нас экспериментальные данные мы преобразовываем к следующему виду

И теперь находим коэффициенты и, а зная их мы можем вычислить и из следующих формул

и

Построим таблицу позволяющую получать нелинейные аппроксимирующие зависимости.

Метод №

Дата добавления: 2014-01-06