Вещественные числа

Формат с плавающей точкой использует представление вещественного числа R в виде произведения мантиссы т на основание системы счисления п в некоторой целой степени р, которую называют порядком: R = m х n^р. Представление числа в форме с плавающей точкой неодно­значно. Например, справедливы следующие равенства: 25.324 = 2.5324 х 10¹ = 0.0025324 х 10⁴ = 2532.4 х 10^-2 и т. п.

В ЭВМ используют нормализованное представление числа в форме с плавающей точкой. Мантисса в нормализованном представлении должна удовлетворять условию: 0.1 < m < 1. Иначе говоря, мантисса меньше единицы и первая значащая цифра — не ноль.

В памяти компьютера мантисса представляется как целое число, содержащее только значащие цифры (0 целых и запятая не хранятся). Следовательно, внутреннее представление веще­ственного числа сводится к представлению пары целых чисел: мантиссы и порядка.

В разных типах ЭВМ применяются различные варианты представления чисел в форме с плавающей точкой. Для при­мера рассмотрим внутреннее представление вещественного числа в 4-х байтовой ячейке памяти.

В ячейке должна содержаться следующая информация о числе: знак числа, порядок и значащие цифры мантиссы.

±маш. порядок	М А Н Т И С С А
1-й байт	2-й байт	3-й байт	4-й байт

В старшем бите 1-го байта хранится знак числа: 0 обозначает плюс, 1 — минус. Оставшиеся 7 бит первого байта содержат машинный порядок. В следующих трех байтах хранятся зна­чащие цифры мантиссы (24 разряда).

В семи двоичных разрядах помещаются двоичные числа в диапазоне от 0000000 до 1111111. Значит, машинный порядок изменяется в диапазоне от 0 до 127 (в десятичной системе счисления). Всего 128 значений. Порядок, очевидно, может быть как положительным так и отрицательным. Разумно эти 128 значений разделить поровну между положительными и отрицательными значениями порядка: от — 64 до 63.

Машинный порядок смещен относительно математичес­кого и имеет только положительные значения. Смещение вы­бирается так, чтобы минимальному математическому зна­чению порядка соответствовал нуль.

Связь между машинным порядком (Мр) и математическим (р) в рассматриваемом случае выражается формулой:

Мр = р + 64.

Полученная формула записана в десятичной системе. В дво­ичной системе формула имеет вид: Мр₂ = р₂ + 100 0000₂.

Для записи внутреннего представления вещественного числа необходимо:

1) перевести модуль данного числа в двоичную систему счис­ления с 24 значащими цифрами;

2) нормализовать двоичное число;

3) найти машинный порядок в двоичной системе счисления;

4) учитывая знак числа, выписать его представление в 4-х байтовом машинном слове.

Пример 4. Записать внутреннее представление числа 250,1875 в форме с плавающей точкой. Решение.

1. Переведем его в двоичную систему счисления с 24 значащими цифрами:

250,1875₁₀ = 11111010, 0011000000000000₂.

2. Запишем в форме нормализованного двоичного числа с плавающей точкой: 0,111110100011000000000000 х 10₂¹⁰⁰⁰.

Здесь мантисса, основание системы счисления (2₁₀ = 10₂) и порядок (8₁₀ = 1000₂) записаны в двоичной системе.

3. Вычислим машинный порядок в двоичной системе счисления: Мр₂ = 1000 + 100 0000 = 100 1000.

4. Запишем представление числа в 4-х байтовой ячейке памяти с учетом знака числа:

Дата добавления: 2014-01-06