Система счисления – это правила образования записи (изображения) чисел с помощью заданного набора специальных знаков – цифр

ЯЗЫК ЧИСЕЛ (СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ)

Обработка данных техническими средствами информатики предполагает проведение разнообразных вычислений даже при решении задач не связанных с какими-то расчетами. В связи с этим встает вопрос о выборе оптимального представления чисел в техническом устройстве обработки.

Представление чисел в компьютере по сравнению с формой чисел, известной со школы, имеет два важных отличия:

1) используется двоичная система счисления;

2) количество разрядов записи числа ограничено.

Любое число имеет значение (содержание) и форму представления.

Значение числа задает его отношение к значениям других чисел (>, <, ═) и, следовательно, порядок расположения чисел на числовой оси.

Форма представления определяет порядок записи числа с помощью предназначенных для этого знаков. При этом значение числа не зависит (инвариантно) от способа его представления, т.е. число может быть записано по-разному. В связи с этим возникают вопросы о представления чисел и о возможности и способах перехода от одной формы представления к другой. Способ представления определяется системой счисления.

Существуют унарная, позиционные и непозиционные системы счисления.

Унарная – это система счисления, в которой для записи чисел используется только один знак -1 («палочка»).

Непозиционная система счисления - каждой цифре в любом месте числа соответствует одно и то же значение – количественный эквивалент. Пример, римская система записи чисел, в которой используются базовые числа: 1 – I, 5 – V, 10 – X, 50 – L, 100 – C, 500 – D, 1000 - M. Все другие числа строятся комбинацией базовых в соответствии со следующими правилами:

· если цифра меньшего значения стоит справа от большей цифры, то их значения суммируются; если слева – то меньшее значение вычитается из большего;

· цифры I, X, C и M могут следовать подряд не более трех раз каждая;

· цифры V, L, D могут использоваться в записи не более одного раза.

Недостатками непозиционных систем счисления являются трудность записи больших чисел и сложность формализации правил проведения арифметических операций.

Унарное и непозиционное представления чисел относятся к аддитивным формам, в которых значение числа определяется операциями сложения и вычитания. В отличии от них позиционные системы счисления относятся к аддитивно – мультипликативным формам, поскольку значение числа в них определяется операциями умножения и сложения.

Позиционными называются системы счисления, в которых значение каждой цифры в изображении числа определяется ее положением (позицией) в ряду других цифр. Позиционных систем счисления существует множество и отличаются они друг от друга алфавитом – множеством используемых цифр.

Алфавитом системы счисления называется совокупность различных цифр, используемых в позиционной системе счисления для записи чисел.

Основанием системы счисления (величиной алфавита данной системы счисления) называется величина p, равная отношению веса любого разряда числа к весу соседнего младшего разряда.

Базис позиционной системы счисления – это последовательность чисел, каждое из которых задает вес каждого разряда. Если основание системы счисления обозначить буквой p, то базис позиционной системы счисления представляет собой последовательность чисел p↑i, где i = 0, 1, 2,...

Например, для десятичной системы счисления базис представляет ряд цифр:

.....10^(-2), 10^(-1), 10^0, 10^1, 10^2......

Главная особенность позиционного представления чисел – возможность посредством ограниченного набора знаков (цифр, разделителя целой и дробной частей, обозначения знака) записать неограниченное количество различных чисел.

Сущность позиционного представления чисел отражается в развернутой форме записи чисел. Для произвольной системы счисления с основанием p любое число А, удовлетворяющее условию p ^ (-k) < A < p^ n, может быть представлено в виде многочлена

А = an-1*p↑(n-1) + an-2*p↑(n-2) + …+ a1*p↑1 + a0*p↑0 + a(-1)*p↑(-1) +… + a(-k)* p(-k) = ∑ai*p↑i, где –k ≤ i ≤ n-1

Из коэффициентов ai при степенях основания строится сокращенная запись числа:

А = (an-1an-2 …a1a0a-1a-2…)(p).

Посредством несложных преобразований целой и дробной частей числа можно получить развернутую запись числа по схеме Горнера:

Для целой части:

A = (….((an-1*p + a n-2)*p + ….+ a1)*p + a0;

Для дробной части:

A = (1/p)*(a(-1) + (1/p)*(a(-2) + ….+ (1/p)*(a(-k+1) + a(-k)* (1/p))…))

Индекс p у числа А указывает, что оно записано в системе счисления с основанием p, общее число цифр в дробной части равно k, а в целой части – n. Все коэффициенты ai – целые числа, удовлетворяющие условию:

0 ≤ ai ≤ p – 1.

В десятичной системе счисления основание p = 10 и для записи используется десять цифр –0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Каждая цифра числа занимает в нем определенный разряд, который имеет соответствующий весовой коэффициент, определяемый числом 10 в степени:

для разрядов влево от запятой – 0, 1, 2 …..

для разрядов вправо от запятой – (-1), (-2), (-3), ….

Таким образом, запись числа 547,35 в десятичной системе счисления означает:

547,35 = 5*10↑2 + 4*10↑1 + 7*10↑0 + 3*10↑(-1) + 5*10↑(-2) или по схеме Горнера:

547 = (5*10 + 4)*10 + 7 и 0,35 = 0,1*(3 + 5*0,1)

Основное преимущество позиционных систем счисления перед непозиционными – удобство выполнения арифметических операций.

Дата добавления: 2014-01-06