Равномощные множества. Способы установления равномощности множеств. Счетные и несчетные множества

Определение. Множества X и Y называются равномощными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие.

Если множества X и Y равномощны, то пишут X ~ Y.

Нетрудно увидеть, что множества, которые были рассмотрены в примерах 1 и 2, равномощны.

Равномощными могут быть как конечные, так и бесконечные множества. Равномощные конечные множества называют еще равночисленными. В начальном обучении математике равночисленность выражается словами «столько же» и может использоваться при ознакомлении учащихся со многими другими понятиями. Например, чтобы ввести равенство чисел, сравнивают два множества, устанавливая между их элементами взаимно однозначное соответствие. Например, пишут, что 5 = 5, так как кружков столько же, сколько квадратов (рис. 76).

Понятие равночисленности множеств лежит и в основе определения отношений «больше на...» и «меньше на...». Например, чтобы утверждать, что 6 больше 4 на 2, сравнивают два множества, устанавливая взаимно однозначное соответствие между множеством X, в котором 4 элемента, и подмножеством Y, другого множества Y, в котором 6 элементов (рис. 77), и делают вывод: треугольников столько же, сколько кружков, и еще 2. Другими словами, треугольников на 2 больше, чем кружков.

Рис. 77

Как уже было сказано, равномощными могут быть и бесконечные множества. Приведем примеры таких множеств.

Пример 3. Пусть X - множество точек отрезка АВ, Y - множество точек отрезка СD, причем длины отрезков различны. Так как между данными множествами можно установить взаимно однозначное соответствие (рис. 78), то множества точек отрезка АВ и СD равномощны.

Пример 4. Рассмотрим множество N натуральных чисел и множество Y - четных натуральных чисел. Они равномощны, так как между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие:

N: 1 2 3 … n …

Y: 2 4 6 … 2 n …

На первый взгляд кажется парадоксальным тот факт, что можно установить взаимно однозначные соответствия между множеством и его частью: для конечных множеств такая ситуация невозможна. Однако в математике доказано, что для бесконечного множества А всегда найдется такое его подмножество B, что между А и В можно установить взаимно однозначное соответствие. Иногда это утверждение считают определением бесконечного множества.

Если бесконечное множество равномощно множеству N натуральных чисел, его называют счетным. Любое бесконечное подмножество множества N счетно: чтобы пронумеровать его элементы, надо расположить элементы подмножества в порядке возрастания и нумеровать один за другим (т.е. так, как это сделано в примере 4). Так, счетно множество всех нечетных натуральных чисел, множество натуральных чисел, кратных 5 и др. Счетными являются также множества всех целых чисел, всех рациональных.

Существуют ли множества, отличные от счетных? Доказано, что бесконечным множеством, не равномощным множеству N натуральных чисел, является множество R всех действительных чисел.

Дата добавления: 2014-01-06