Лекция 3. Напряженность и потенциал. Основные теоремы электростатического поля.

Так как поле - вид материи, непрерывно распределенный в пространстве, для его характери­стики вводят специальные функции координат (функции точки). А так как электростатическое поле является потенциальным (его силы – консервативны), то его можно характеризовать и силовой - напряженностью , и энергетической - потенциалом j - величинами (полевыми функциями).

Линейная связь сил электростатического взаимодействия с величинами зарядов позволяет ввести силовую характеристику ЭСП - напряженность - как удельную силу, т. е. силу, дейст­вующую со стороны поля на единичный неподвижный положительный заряд в данной точке поля:

= /q Þ единица напряженности [Н/Кл].

Т. к. F ~ q, то отношение /q = - не зависит от значения заряда q и характеризует поле само по себе (силу поля) в данной его точке.

Выражение для напряженности поля неподвижного точечного заряда q, получим из
закона Кулона, из силы взаимодействия его с пробным зарядом q¢:

= /q¢ = [(kqq¢/r²)×/r]¤q¢ = (kq/r³)× Þ Е = k|q|/r²

Важным положением в электростатике является известный еще из механики принцип
супер­позиции (или принцип наложения) сил, выражающий независимость их действия при наличии нескольких сил. B электростатике его обычно называют принципом суперпозиции электростатиче­ских полей, и он выражает характеристики результирующего ЭСП при наличии нескольких источ­ников (зарядов). Согласно этому принципу, при наличии нескольких зарядов напряженность создаваемого ими результирующего ЭСП определяется векторной суммойнапряженностей полей, которые бы создавал каждый из этих зарядов в отдельности: = S.

Чтобы ввести энергетическую характеристику ЭСП – потенциал j, необходимо сначала убе­диться в потенциальном характере ЭСП. Для этого нужно показать, что силы ЭСП являются консер­вативными, то есть их работа по перемещению заряда не зависит от формы траектории. Для про­стоты составим выражение для работы А₁₂ перемещения пробного заряда q¢ в поле неподвиж­ного точечного заряда q:

А₁₂ = = = = kqq¢= kqq¢= kqq¢(1/r₁ - 1/r₂) = q¢(j₁ - j₂).

Получили выражение, из которого следует, что работа А₁₂ сил ЭСП точечного заряда q по перемещению пробного заряда q¢ не зависит от формы траектории перемещения, а определяется лишь его начальным и конечным положениями, задаваемых координатами r₁ и r₂. В качестве энергетической характеристики этого положения (точки поля) и выбирается скалярная величина, называемая потенциалом j. Для точечного заряда j = kq/r.

Полученный результат о потенциальном характере ЭСП неподвижного точечного заряда можно обобщить на ЭСП, создаваемое произвольной системой неподвижных зарядов.

Энергетическая характеристика ЭСП - потенциал j может быть получена из известного в механике выражения, связывающего силу и потенциальную энергию, в соответствии с которым, сила есть антиградиент потенциальной энергии (или проекция силы на некоторое направление равна быстроте убыли потенциальной энергии W_п в данном направлении).

= - grad W_п Þ = - grad W_п/q Þ = - grad j

где за потенциал j принято отношение потенциальной энергии взаимодействия заряда с полем к величине заряда: j = W_п/q - удельная по заряду потенциальная энергия, то есть потенциальная энер­гия единичного положительного заряда в данной точке поля, измеряемая в вольтах:о

[Дж/Кл = В]. Или из F_х = - ¶W_п/¶х Þ Е_х = - ¶j/¶х [В/м]

Из взаимосвязи силовой и энергетической характеристик ЭСП получа­ет иное выражение и трактовку единица напряженности. Будучи антиградиентом потенциала, выражая своей про­екцией быстроту убыли потенциала в соответствующем направлении, напряженность, наряду с исходным выражением = /q, определяющим ее как удельную силу (в расчете на единицу заряда), измеряется и в В/м. Эта единица показывает, на сколько вольт убывает потенциал на еди­нице длины в соответствующем направлении.

Двоякая интерпретация может быть дана и энергетической характеристике ЭCII - потен­циалу j. С одной стороны, потенциал j = W_п/q - представляет собой удельную потенциальную энергию ЭСП в данной точке, т. е. потенциальную энергию, которую приобретает в данной точке поля положительный единичный заряд. С другой стороны, поскольку потенциальная энергия (энергия взаимодействия) определяется неоднозначно, с точностью до константы, а ее изменение (убыль) равно работе консервативных сил (какими и являются силы ЭСП), то и потенциал j может быть выражен через работу сил ЭСП по перемещению единичного положительного заряда из данной точки на бесконечность (потенциал точки, достаточно удаленной от источников поля может быть принят равным нулю):

А₁₂ = q(j₁ - j₂) Þ j₁ - j₂ = А₁₂/q, или, при j₂ ® 0 j₁ = А_1¥/q.

Из выражения j₁ - j₂ = А₁₂/q следует, что разность потенциалов двух точек поля есть величина, измеряемая работой сил ЭСП по перемещению положительного единичного заряда из одной точки в другую.

Для однородного ЭСП, напряженность в котором во всех точках одинакова, взаимосвязь между силовой и энергетической характеристиками упрощается и становится более наглядной:

Е_х = - Dj/Dх = (j₁ - j₂)/(х₂ - х₁)

Обратный переход от напряженности к разности потенциалов, выража­ется интегральным соотношением: из dj = - Е_хdх Þ

Dj = j₂ - j₁ = или j₁ - j₂ =

Для однородного поля: j₁ - j₂ = Е_х(х₂ – х₁).

Для наглядности ЭСП изображают с помощью силовых линий - касательные, к которым сов­падают с направлением вектора в каждой точке поля, а их густота пропорциональна числен­ному значению напряженности ЭСП в данном месте, и с помощью эквипотенциальных поверхно­стей, все точки которых имеют одинаковый потенциал. Характерным для ЭСП является перпен­дикуляр­ность силовых линий эквипотенциальным поверхностям. Это следует из того, что вдоль эквипотен­циальной поверхности j = const, то есть dj = 0, а значит проекция Е_t вектора на эквипотенциальную поверхность Е_t = - dj/dt = 0. Отсюда вектор перпендикулярен эквипо­тен­циальной поверхности.

Характерным для ЭСП является также то, что его силовые линии - разомкнуты. Они имеют начало - на положительных зарядах и конец - на отрицательных зарядах или в бесконечности. Замкнутость силовой линии означала бы неравенство нулю работы сил ЭСП по замкнутой траектории, совпадающей с силовой линией, что противоречит его потенциальному характеру.

Силовые линии направлены в сторону убыли потенциала, от большего его значения к мень­шему. Формально это следует из взаимосвязи напряженности и потенциала, в соответствии, с кото­рой напряженность есть антиградиент потенциала, а градиент, по определению, есть вектор, направ­ленный в сторону наибыстрейшего возрастания функции (в данном случае – потенциала).

В математическом плане ЭСП, являясь векторным потенциальным полем, полностью
харак­теризуется двумя теоремами, которые в интегральной форме записываются для циркуляции и потока вектора поля (в данном случае - вектора ).

Циркуляция есть криволинейный интеграл от векторной функции поля по замкнутому контуру. Принимая во внимание смысл вектора = - сила, действующая на положительный единичный заряд, для циркуляции вектора получаем: = = = - работа сил ЭСП по перемещению положительного единичного заряда по замкнутой траектории (контуру L). В силу потенциального характера ЭСП работа его сил (являющихся консервативными) по замкнутому контуру нулю. Отсюда следует и теорема о циркуляции вектора : циркуляция вектора напряженности электростатического поля равна нулю: = = 0

Эта теорема является следствием центрального (радиального) характера сил ЭСП ( = E×d l ×cos a = E _l d l, где Е _l = Еcos a - проекция вектора
на направле­ние d). Из нее следует разомкнутый характер силовых линий ЭСП; в против­ном случае, перемещая заряд вдоль замкнутой силовой
линии, совершали бы ненулевую работу, что противоречит условию потенциальности ЭСП.

Второй важнейшей теоремой ЭСП является теорема о потоке вектора называемая теоремой Остроградского-Гаусса, иногда - просто теоремой Гаусса. Под потоком Ф вектора через некоторую поверхность понимают поверхностный интеграл от вектора через соот­ветствующую поверхность. Наглядно поток вектора через какую-либо поверхность представляет собой скалярную характеристику векторного поля, которая пропорцио­нальна числу силовых линий, пронизывающих соответствующую поверхность. Через элементарно малую поверхность dS, которой можно придать смысл вектор-пло­щадки[1] d, поток dФ_Е вектора будет равен произведению: dФ_Е = = Е×dS×cos a = Е_ndS, где a - угол между вектором и внешней единичной нормалью к площадке , а Е_n = Еcos a - проекция вектора на направление нормали . Полный же поток Ф_Е вектора сквозь поверх­ность S определится поверхностным интегра­лом: Ф_Е ==

В соответствии с этим соотношением напряженности можно придать смысл поверхностной плотности потока вектора (потока силовых линий), то есть величины, пропорциональной густоте силовых линий, то есть их числу, пронизываю­щих единичную площадку. Теорема о потоке вектора напряженности ЭСП - теорема Остроградского - Гаусса утвер­ждает, что поток Ф_Е вектора через любую замкнутую поверхность S не зависит от размера и формы поверхности, а определяется лишь полным электрическимзарядом q_å, находящимся внутри замкнутой поверхности, будучи численно равным этому заряду, деленному на электрическую посто­янную e_о:

Ф_Е = = q_S/e_о.

Покажем на примере точечного заряда q справедливость теоремы Остроградского - Гаусса.

Окружим точечный заряд замкнутой поверхно­стью, для простоты в виде сферы радиуса R и вы­числим по­ток вектора от точечного заряда че­рез эту сфериче­скую поверхность. Выра­жение для напряженности Е поля точечного заряда q получим из закона Кулона, из силы взаимодейст­вия его с пробным зарядом q¢:

= /q¢ = (kqq¢/r²)q¢ Þ Е = kq/r² (k = 1/4pe_о)

Подставляя это выражение в формулу для потока вектора , получим:

Ф_Е = = = Е= ЕS = (kq/R²)4pR² = q/e_о.

Действительно, поток Ф_Е вектора сквозь сферическую поверхность S равен заряду, находящемуся внутри поверхности, деленному на e_о. Такая связь характеристики ЭСП (потока вектора ) с источниками его порож­дающими (с зарядами), с одной стороны, является важным законом природы (следствием закона «обратных квадратов» в зависимости сил электрического взаимодействия точечных зарядов), а с другой – выступает методом для решения основной задачи электростатики - расчета характеристик поля по известному распределению его источников - электрических зарядов. Это наглядно видно на примере точечного заряда и случая сферической поверхности, поток вектора через которую, пропорционален ее площади и, соответственно, квадрату ее радиуса.

Обобщая теорему о потоке вектора ЭСП на произвольную систему зарядов, получим:

где q_å = åq _i - для дискретного распределения зарядов, создающих ЭСП (и поток Ф_Е).

t d l - для линейного,

и q_å = sdS - поверхностного, - непрерывных распределений заряда по телу.

rdv - объемного

и где t = dq/d l - линейная, s = dq/dS - поверхностная и r = dq/dv - объемная плотности заряда, изме­ряемые в Кл/м, Кл/м² и Кл/м³, соответственно. В случае равномерного распределения заряда произ­водные заменяются отношениями: t = q/ l, s = q/S и r = q/V и представляют собой соответственно заряд единицы длины, единицы площади и единицы объема заряженного тела.

Учитывая, что в диэлектрической среде электрическое поле ослабляется в e раз, вво­дят вспомогательную силовую характеристику , называемую электрическим смещением или век­тором индукции электрического поля, связанную с основной силовой характеристикой ЭСП - векто­ром напряженности , следующим соотношением: = e_оe

Эта величина характеризует силу ЭСП в вакууме, т. е. ЭСП самого по себе, без учета среды. Она облегчает расчет характеристик ЭСП в неоднородных диэлектрических средах.
Использование вектора позволяет придать более простой вид теореме Остроградского - Гаусса:

- поток вектора электрического смещения через любую замкнутую поверхность не зависит от разме­ров и формы этой поверхности, а определяется алгебраической суммой q_å свободных зарядов, находя­щихся внутри этой поверхности, и равен значению этого заряда.

ЭСП полностью характеризуется двумя теоремами: теоремой о циркуляции и теоремой о потоке вектора . Эти теоремы образуют полную систему уравнений ЭСП в интегральной форме.

В решении конкретных задач электростатики часто удобным оказывается использование энергети­ческой характеристики - потенциала j и вспомогательной силовой характеристики - вектора индук­ции ЭСП - . При этом необходимыми оказываются уравнения связи силовой и энергетической характеристик ЭСП = - grad j и основной и вспомогательной силовых характеристик ЭСП = e_оe

Фактически обе теоремы ЭСП эквивалентны одному закону Кулона и, по сути, являются его следствиями, - следствиями устанавливаемых этим законом основных свойств ЭСП - его потенци­альности (консервативности сил ЭСП) и закона "обратных квадратов" в зависимости сил от расстоя­ния.

Для перехода к дифференциальной форме записи теоремы о циркуляции воспользуемся
известной из векторного анализа теоремой Стокса, связывающей циркуляцию вектора с поверхностным интегралом от ротора этого вектора:

= ,

гдеS – поверхность, ограниченная контуром L. Под ротором вектора понимают векторный дифференциальный оператор, задаваемый следующим образом:

rot = (¶Е_у/¶z - ¶Е_z/¶у) + ( ¶Е_z/¶х - ¶Е_х/¶z) + (¶Е_x/¶y - ¶Е_y/¶x)

Физический смысл ротора вскрывают, устремляя поверхность S к нулю. В пределах достаточно малой поверх­ности ротор вектора можно считать постоянным и вынести за знак интеграла:

= rot × = rot×S.

Тогда, согласно теореме Стокса:rot = (1/S)при S ® 0.

Отсюда ротор вектора можно определить как поверхност­ную плотность циркуляции этого вектора.

Так как в ЭСП циркуляция вектора равна нулю, то равен нулю и ротор вектора :

rot = 0.

Это уравнение и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора в ЭСП.

Для перехода к дифференциальной форме записи теоремы Остроградского – Гаусса воспользуемся известной из векторного анализа теоремой Гаусса, связывающей поток вектора по замкнутой поверхности с интегралом от дивер­генции этого вектора по объему, заключенному в этой поверхности:

= .

Под дивергенцией вектора понимают скалярный дифференциальный оператор (совокупность производных), задаваемый следующим образом:

div = ¶Е_х/¶х + ¶Е_у/¶у + ¶Е_z/¶z.

Физический смысл дивергенции вскрывают, устремляя объем V к нулю. В пределах достаточно малого объема дивергенцию вектора можно считать постоянной и вынести за знак интеграла:

= div × = (1/V) div . Тогда, согласно теореме Гаусса,
div = (1/V) при V ® 0.

Отсюда дивергенцию вектора можно определить как объемную плотность потока этого вектора.

Соотнося теорему Остроградского – Гаусса = q_å/e_о = (1/e_о) и теорему Гаусса = , видим, что левые их части равны друг другу. Приравнивая их правые части, получаем: div = r/e_о.

Это уравнение и представляет собой дифференциальную форму теоремы Остроградского – Гаусса.

Дата добавления: 2014-01-06