Лекция 8. Основные теоремы магнитостатического поля. Энергия и объемная плотность энергии магнитостатического поля

Так же как и для ЭСП, для МСП - как векторного поля, важными теоремами, лежащими в основе методов расчета характеристик МСП, являются теоремы о циркуляции и о потоке вектора поля (вектора или вектора ).

Вследствие не потенциального, вихревого характера МСП, для него не удается просто
и наглядно получить эти теоремы исходя из основного закона, устанавливающего фундаментальный характер сил магнитостатического взаимодействия на элементарном уровне (как это было в электро­статике - из закона Кулона).

С некоторым приближением, условностью, в качестве отношения, аналогичного получае­мому из закона Кулона выражению для напряженности поля точечного заряда, может служить закон Био - Савара - Лапласа. Этот закон устанавливает силу МСП, создаваемого элементарным источни­ком - элементом тока на удалении r от него:

dН = Id l sina/4pr² или dB = m_оmId l sin a/4pr²

где угол a - угол между векторами и .

В векторной форме закон Био - Савара - Лапласа принимает следующий вид:

d= I[]/4pr³ или

= m_оmd= m_оmI[d]/4pr³

Вектор перпендикулярен как вектору так и вектору и направлен в сторону, опреде­ляемую правилом векторного произведения, или правилом буравчика (правого винта): - вращая буравчик рукоятью в плоскости векторов [] в направлении протекания тока, получим совпадение поступательного перемещения буравчика с направлением вектора индукции МСП.

Закон Био – Савара - Лапласа носит дифференциальный характер, и полную индукцию В_S или напряженность Н_S МСП в данной точке, создаваемую всем проводником с током, находят путем интегрирования, используя принцип суперпозиции:

_S = S _i или _рез =

Рассмотрим некоторые примеры применения закона Био - Савара - Лапласа для расчета характеристик МСП, создаваемого проводниками (с током) разной формы.

1) прямолинейный проводник с постоянным током.

Для нахождения характеристик результирующего МСП, создаваемого прямолинейным проводником с током постоянной силы I на расстоянии а от него, выберем на проводнике элемен­тарный отрезок и запишем для него закон Био – Савара - Лапласа. Векторы элементарной индукции от разных элементов проводника с током сонаправлены и векторное суммирование (интегрирование) сводится к арифметическому.Полную индукцию В от всего проводника определим путем интегрирования; для этого три переменные: , r и a в законе Био – Савара - Лапласа: сведем к одной, удобнее всего к a:

r = а/sina; [] = d l r sin a = r²da. Подставляя их под интеграл, произведем интегрирование; переменная a для проводника изменяется в пределах от a₁ до a₂.

dВ = m_оmId l sin a/4pr² = m_оmIsin² a×аdasin a/4pа²sin² a = m_оmIsin a×da/4pа.

В = = (m_оmI/4pа)= (m_оmI/4pа)(cos a₁ - cos a₂)

Н = В/m_оm = (I/4pа)(cos a₁ - cos a₂) [Н] = А/м.

В результате получили довольно простые выраже­ния для индукции и, особенно для напряженности МСП, создаваемого бесконечно длинным прямолинейным провод­ником с постоян­ным током I на удалении а от него.

Углы a₁ и a₂ - это углы, под которыми из концов проводника видна точка, в которой ищется индук­ция и/или напряженность МСП. 2) Если проводник имеет бесконечную длину, то для него можно повторить все вышесказанное и проделанное с той лишь разницей, что пределы интегрирования (a₁- a₂), характерные для конеч­ного проводника, следует заменить на пределы (0 – p). При этом очевидно, результат получается следую­щим:

В = m_оmI/2pа и Н = I/2pа

3) круговой проводник с постоянным током.

Рассчитаем вначале В и Н в центре кругового тока силой I и радиусом R. Так как || = R и ^ d, т. е. a = p/2, то dH = Id l /4pr² = Id l /4pR² Þ

Н === (I/4pR²)×2pR = I/2R и

В = m_оmН = m_оmI/2R

Силовые линии МСП обвивают проводник с током в направлении, определяемом правилом буравчика (правого винта): при вкручивании буравчика по направлению тока, вращательное пере­мещение рукояти задает ориентацию силовой линии.

В качестве второго важного метода расчета характеристик МСП выступает теорема о цирку­ляции вектора (или вектора ).

Если у ЭСП, которое имело потенциальный характер, циркуляция - работа по перемещению единичного заряда по замкнутому контуру, равнялась нулю, то у МСП, вследствие его не потенци­ального, вихревого характера, циркуляция векторов и отлична от нуля. Например, для прямо­линейного бесконечного проводника с постоянным током, как мы уже рассматривали, она может быть представлена в виде:

== == (I/2pа)= (I/2pа)×2pа = I

= = = В= (m_оmI/2pа)×2pа = m_оmI

Циркуляция вектора для прямолинейного бесконечного проводника с током численно равна силе тока в этом проводнике = I. Если замкнутый контур L охватывает N токов, то можно сформулировать общую теорему о циркуляции вектора

циркуляция вектора по некоторому контуру Lравна алгебраической сумме токов, охватываемых этим контуром:

= SI_i

Циркуляция вектора по любому контуру также не зависит ни от размеров, ни от формы контура, а с точностью до постоянного множителя m_оm определяется алгебраической суммой токов, охватываемых данным контуром:

= = m_оmSIi

Неравенство нулю циркуляции векторов и говорит о том, что силовые линии МСП (линии векторов и ) являются замкнутыми (образуют вихри), в отличие от ЭСП, где силовые линии имели начало (на положительных зарядах) и конец (на отрицательных зарядах или в беско­нечности).

Другим выражением этой вихревой, не потенциальной природы МСП является равенство нулю потока вектора (и ) через любую замкнутую поверхность.

Элементарный поток dФ_в = = ВdScos a = В_ndS пропорционален числу силовых линий, пронизывающих площадку .

Полный поток Ф_В вектора через любую замкнутую поверхность S равен нулю, т. к. сколько силовых линий входит
в нее, столько и выходит из нее (в силу их замкнутого характера):

Ф_в = = = 0

Применим теорему о циркуляции вектора для нахождения характеристик МСП соленоида - длинной катушки с большим числом N витков. Возьмем циркуляцию вектора через замкнутый контур L ® АВСDА, проходящий через ось соленоида АС:

= SI_i = NI

При удалении наружного участка D контура на ¥, где МСП соленоида стремится к нулю, получим:

= += = H l = IN Þ Н = IN/ l

Напряженность МСП внутри соленоида равна числу ампервитков, приходящихся на единицу длины l соленоида. Подобная формула справедлива и для напряженности магнитного поля тороида - катушки «свернутой в кольцо, в бублик». Длина l у тороида равна 2pR, где R - его срединный радиус.

Дата добавления: 2014-01-06