Пример 4. Выше было проверено, что ряд

(3)

сходится согласно принципу Лейбница. Ряд из абсолютных величин его членов есть расходящийся гармонический ряд

.

Поэтому ряд (10.13) сходится условно.

Теорема 2. Если ряд (10.10) сходится абсолютно, то он сходится.

Поскольку абсолютная сходимость ряда означает сходимость ряда по абсолютной величине его членов, которые положительны, то для установления абсолютной сходимости можно пользоваться всеми признаками сходимости знакоположительных рядов.

Свойства условно сходящихся рядов резко отличаются от свойств абсолютно сходящихся рядов.

Теорема 3. Если знакопеременный ряд сходится условно, то в результате перестановки его членов можно получить ряд, имеющий любую сумму, а также расходящийся ряд.

Пример 5. Рассмотрим ряд

.

В условно сходящемся ряде переставим и сгруппируем члены следующим образом

.

Если затем внутри каждой скобки сложить первые слагаемых, то получим ряд

,

сумма которого равна

Таким образом, при перестановке членов исходного условно сходящегося ряда его сумма уменьшилась в 2 раза.

Экономический пример. Баланс банка складывается, главным образом, из его пассивов, т.е. денег, которые он берет в кредит, и активов, т.е. денег, которые он выдает в кредит. Допустим, что у банка нулевой баланс. При этом легко привести пример, когда на счету банка находится сумма, равная его пассивам. Для этого достаточно, чтобы сроки возврата пассивов были значительно больше сроков возврата активов банка.

Литература

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление, М.:Наука, 1988г.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Т.1,2 М.:Наука, 1985г.

3. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 1,2, М.: Высшая школа, 1981г.

4. Бронштейн И.Н.,Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров.М.: Высшая школа,1997.

5. ИДЗ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Под редакцией Рябушко А.П., ч.1,2 Минск, «ВШ», 2002г.

Дата добавления: 2014-01-06