Вид и общая структура решения

Рассмотрим неоднородное линейное уравнение - го порядка

(1)

где - коэффициенты уравнения (1), а - линейный оператор. Очевидно, что и ,

Теорема 1 (Пикара). Во всех точках некоторой области , где и непрерывны, существует единственное решение задачи Коши для уравнения (1).

В дальнейшем полагаем, что и непрерывны в .

1. Общее решение линейного однородного уравнения.

(2)

Определение 1. Функции называются линейно независимости если существуют такие постоянные не все равные нулю, что

иначе – линейно зависимые.

Пример 1.

а) Функции - линейно зависимые в , так как при

1)

2)

б) Функции - линейно независимые в , так как равно нулю только для двух значений , а не для всех .

Линейная зависимость функции имеют непрерывные производные до - го порядка включительно. Тогда определитель

называется определителем Воронского.

Теорема 2. Если функции линейно зависимые в то .

Теорема 3. Если частные решения уравнения (2) линейно независимые в то .

Определение 2. Любая система из линейно независимых частных решений уравнения (2) называется фундаментальной системой.

Теорема 4. Для уравнения (2) всегда существует фундаментальная система.

Теорема 5. Если - частные решения уравнения (2), то

, (3)

где - произвольные постоянные, также будет решением уравнения (2).

Решение (3) содержит произвольных постоянных. При каких условиях (3) будет общим решением уравнения (2).

Теорема 6. Если частные решения уравнения (2) образуют фундаментальную систему, то (3) является общим решением уравнения (2).

Дата добавления: 2014-01-06