Метод вариации произвольных постоянных

Теорема 7. Общее решение уравнения (1) есть сумма частного решения этого уравне-

ния и общего решения соответствующего однородного уравнения (2).

Следовательно для нахождения общего уравнения (1) необходимо:

1) найти общее решение однородного уравнения (2),

2) найти частное решение уравнения (1).

Метод вариации применяется для нахождения частного решения уравнения (1), если

известно общее решение уравнения (2)

Пусть (3) общее решение уравнения (2). Частное решение уравнения (1) будем искать в виде (3), считая неизвестными функциями от . Для нахождения решения необходимо условий. Этими условиями будут условие

(4)

плюс условие, что (3) удовлетворяет уравнению (1). Из (4) следует, что в выражениях, определяющих не должны присутствовать производные от функций .

Пример 1. Найти общее решение уравнения

(5)

1) Найдем общее решение однородного уравнения .

.

2) Найдем частное решение уравнения (5). Решение ищем в виде

ТогдаТак как не должно зависать от и , то положим

т.е. . Найдем второе условие, подставляя в (5). Так как то .

Для нахождения и имеем систему

.

Следовательно частное решение , а общее –

.

Литература

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. М.: Наука, 1985г.
2. Краснов М.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Высшая школа 1983г.
3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Т.1,2 М.: Наука, 1985г.
4. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике ч.1-3 Под редакцией Рябушко А.П. Минск.: Вышейшая школа, 2001 г.
5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевников Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1,2 М.: Высшая школа,1986 г.
6. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты). М.: Высшая школа, 1983 г.

Дата добавления: 2014-01-06