Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Дифференцируемость функции нескольких переменных




При полном приращении функции, в отличие от частных приращений могут изменяться все переменные функции нескольких переменных.

Определение. Полным приращением функции в точке , соответствующим приращениям и аргументов, называется разность

.

Пример. Пусть , , , (см. пример из предыдущего пункта). Найдем полное приращение функции в точке :

Это приращение равно приращению площади прямоугольника со сторонами 3 и 4 при их увеличении на величины, равные 0,1. На рис.4 полное приращение состоит из площадей двух заштрихованных прямоугольников и площади квадрата со стороной 0,1.

Определение. Если полное приращение функции в точке можно записать в виде:

, где и – постоянные, а и бесконечно малые при , то выражение

называется полным дифференциалом функции в точке .

Полный дифференциал называют также главной частью приращения функции.

Функция, имеющая полный дифференциал в некоторой точке, называется дифференцируемой в этой точке.

Теорема 1. Пусть функция и ее частные производные и непрерывны в некоторой окрестности точки . Тогда функция дифференцируема в т. и ее полный дифференциал равен сумме частных дифференциалов:

. (3)

Пример. Найдем полный дифференциал функции .

Найдем вначале частные производные этой функции:

; .

Подставив их в формулу (2), получим:

+.

Если в формуле (1) отбросить бесконечно малые и и заменить полное приращение приближенно полным дифференциалом, то получим следующую формулу для приближенного нахождения значений функции с помощью полного дифференциала.

++. (4)

Пример. Вычислим приближенно число

Для этого мы вычислим приближенное значение функции в точке , где , , , .

=:

= , ,

; .

Подставив эти значения в (4), получим:

.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 364; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.012 сек.