Дифференцируемость функции нескольких переменных

При полном приращении функции, в отличие от частных приращений могут изменяться все переменные функции нескольких переменных.

Определение. Полным приращением функции в точке , соответствующим приращениям и аргументов, называется разность

.

Пример. Пусть , , , (см. пример из предыдущего пункта). Найдем полное приращение функции в точке :

Это приращение равно приращению площади прямоугольника со сторонами 3 и 4 при их увеличении на величины, равные 0,1. На рис.4 полное приращение состоит из площадей двух заштрихованных прямоугольников и площади квадрата со стороной 0,1.

Определение. Если полное приращение функции в точке можно записать в виде:

, где и – постоянные, а и бесконечно малые при , то выражение

называется полным дифференциалом функции в точке .

Полный дифференциал называют также главной частью приращения функции.

Функция, имеющая полный дифференциал в некоторой точке, называется дифференцируемой в этой точке.

Теорема 1. Пусть функция и ее частные производные и непрерывны в некоторой окрестности точки . Тогда функция дифференцируема в т. и ее полный дифференциал равен сумме частных дифференциалов:

. (3)

Пример. Найдем полный дифференциал функции .

Найдем вначале частные производные этой функции:

; .

Подставив их в формулу (2), получим:

+.

Если в формуле (1) отбросить бесконечно малые и и заменить полное приращение приближенно полным дифференциалом, то получим следующую формулу для приближенного нахождения значений функции с помощью полного дифференциала.

++. (4)

Пример. Вычислим приближенно число

Для этого мы вычислим приближенное значение функции в точке , где , , , .

=:

= , ,

; .

Подставив эти значения в (4), получим:

.

Дата добавления: 2014-01-06