Лекция 8

Лекция 20. Обзорно-итоговая.

[1] В пределах малого элемента поверхности можно пренебречь ее кривизной (то есть считать ее плоской элементарной площадкой) и изменением вектора. Направление вектор-площадки dзадается вектором внешней нормалик ней.

[2] Этим объясняется то преимущество последовательного соединения конденсаторов, что в нем возрастает общее пробивное напряжение батареи, так как на каждом из конденсаторов падает меньшее напряжение.

[3] Однородным называют участок цепи, не содержащий источников тока.

[4] Напомним, что собственными (или свободными) называют колебания, происходящие в системе в отсутствие внешней периодической силы (воздействия) на систему.

[5] Долгое время физики пытались опытным путем выявить, найти такую абсолютную ИСО, к которой можно было бы приводить и единообразно выражать все результаты наблюдений и исследований. Считалось, что такая ИСО отличается от всех других тем, что она как бы абсолютно покоится.

[6] Событием в СТО называют «нечто, происходящее там-то и тогда-то».

[7] Силы, не зависящие от времени, называют стационарными.

[8] С латинского сorpuskulum - частица

[9] Формулу Планка Е = hn записывают и через циклическую частоту w = 2pn: Е = hn = hw/2p = w, где константу

= h/2p» 1,05×10^-34 Дж×с, тоже называют постоянной Планка.

[10] С латинского lokus – место.

Основы аналитической механики

Вопросы лекции:

1. Принцип Даламбера.

2. Аналитическое выражение связей и их классификация.

3. Действительные и возможные перемещения.

4. Принцип возможных перемещений и общее уравнение динамики.

Тарг, 2009 с. 344 – 348, 357 – 362, 367 – 369.

1. Принцип Даламбера.

Рассмотрим движение материальной точки массы m под действием активных сил и реакций отброшенных связей. Если движение происходит в инерциальной системе отсчёта, то справедлив основной закон динамики (второй закон Ньютона):

Перепишм это вы ражение в виде

Величина имеет размерность силы

Поэтому можем ввести силу, обозначаемую через

и называемую силой инерции. Знак «–» в формуле (2) означает, что направление силы инерции противоположно направлению вектора ускорения.

С учётом (2) равенство (1) можно записать как

а, учитывая, что силы приложены к одной точке, и, следовательно, образуют систему сходящихся сил, получаем условие равновесия системы сил.

Отсюда получаем принцип Даламбера для материальной точки:

Если ко всем действующим на точку активным силам и реакциям отброшенных связей добавить силу инерции точки, то полученная система сил будет уравновешенной.

Равенство (3) – математическое выражение этого принципа.

Переходим к механической системе. Пусть k-тая точка системы под действием внешних, внутренних сил и реакций отброшенных связей движется с ускорением (силы на рисунке не показаны)

Тогда согласно основному закону динамики для каждой точки системы

Введём силу инерции k-той точки

и запишем основной закон в виде

Сложим все равенства (5) между собой:

Затем каждое из равенств (5) векторно слева умножим на радиус-вектор k- той точки и полученные выражения сложим:

В выражениях (6) и (7)

главный вектор и главный момент внешних сил;

главный вектор и главный момент внутренних сил, равные нулю;

главный вектор и главный момент реакций отброшенных связей;

главный вектор и главный момент сил инерции.

Следовательно, (6) и (7) можно записать в виде

т.е. система сил с добавленными силами инерции точек будет уравновешена (главный вектор и главный момент равны нулю!). Отсюда получаем принцип Даламбера для механической системы:

Если ко всем внешним силам и реакциям связей добавить силы инерции точек системы, то полученная система сил будет уравновешенной.

Равенства (8) – математическая запись принципа Даламбера.

Главный вектор и главный момент сил инерции определяются в зависимости от вида движения механической системы. Имеем

Главный момент сил инерции в общем случае определяется с помощью теоремы об изменении кинетического момента. В частных случаях, например, при вращении тела вокруг неподвижной оси z, являющейся главной осью инерции тела, будет

Аналогичная формула будет при плоском движении тела, но ось z должна быть центральной осью, перпендикулярной плоскости движения тела.

Рассмотрим пример применения принципа Даламбера.

Автомобиль массы m движется по горизонтальной дороге с ускорением a. Положение центра тяжести определено расстояниями и высотой h. Найти реакции передних и задних колёс автомобиля. Массу колёс не учитывать.

РЕШЕНИЕ. Автомобиль движется поступательно. Изображаем внешние силы: силу тяжести, реакции колёс и силы трения. Добавляем равнодействующую сил инерции и применяем принцип Даламбера. Полученная система сил уравновешена (согласно принципу Даламбера). Выбираем систему координат

и записываем условия равновесия:

Из условия (11) может быть найдена сила тяги двигателя, благодаря которой автомобиль движется с ускорением a.

Из (13) получаем

Подставив (14) в (12), найдём

Из равенств (14) и (15) видно, что при разгоне (а > 0) реакция переднего колеса меньше, а заднего – больше соответствующих статических значений. При торможении будет противоположная картина. С помощью (14) можно определить, с каким ускорением надо разгонять автомобиль, чтобы переднее колесо оторвалось от дороги. Условие отрыва. Тогда из (14) следует

2. Аналитическое выражение связей и их классификация.

Связь – любое ограничение на механическое движение. При аналитическом исследовании нужно уметь записывать связи аналитически, т.е. в виде формул.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из N точек. Положение точек будем определять декартовыми координатами. Для упрощения всех записей введём следующие обозначения:

В силу обозначений (16) любую связь в виде формулы (аналитически!) можно задать в виде, или

или

Чтобы убедиться в этом рассмотрим ряд примеров.

А) Две точки связаны стержнем длины и движутся в пространстве.

Связь

В) Две точки связаны нитью с максимальной длиной.

Связь

С) Точка движется в плоскости Oxy по окружности, радиус которой изменяется по какому-либо закону, например, по

На точку наложены две связи:

D) Точка движется в плоскости Oxy по окружности радиуса R, центр которой движется вдоль оси x с постоянной скоростью v.

Снова две связи: и

E) Точки системы могут двигаться в пространстве только так, что их скорости перпендикулярны радиус-векторам, т.е..

Эту связь можно расписать следующим образом

F) Конёк движется по плоскости. Чтобы не падать, скорость точки контакта конька со льдом должна быть направлена вдоль конька.

Эта связь может быть записана так.

Теперь, убедившись на примерах, что любую связь можно записать в виде (17), или (18), перейдём к классификации связей по виду аналитической записи.

Выражение связи может быть записано в виде равенства, или в виде неравенства. По этому признаку связи делятся на

Дата добавления: 2014-01-06