Методи вивчення руху рідини

Розділ II. Кінематика рідини.

Тема №6 Вивчення руху рідини. Елементи кінематики.

Кінематика рідини - розділ гідромеханіки, що вивчає рух рідини без урахування діючих сил. Текучість рідини і газу створює додаткові ступені свободи, а розподіл тиску стає складнішим, ніж розподіл напружень у твердих тілах. Тому вивчення руху рідини і газу набагато складніше за вивчення руху твердих тіл теоретичною механікою чи вивчення їх деформацій в механіці деформівного твердого тіла.

Є різні методи вивчення руху рідини. Найвідомішими методами є методи Ейлера та Лагранжа.

За методом Ейлера вивчається рух рідини в околиці точки з координатами x, у, z.

Тому, повна швидкість і густина (питома маса) є функціями координат і часу (нестаціонарний або неусталений рух):

u=f₁(x, у, z, t)

r=f₂(x, у, z, t),

де u і r – відповідно, швидкість та густина у точці з координатами x, y, z у момент часу t, або у компонентах

u_x = f₃(x, у, z, t)

u_y=f₄(x, у, z, t)

u_z=f₅(x, у, z, t)

Для стаціонарної течії, при якій рух рідини є усталеним усі гідравлічні характеристики постійні у часі

u=f₁(x, у, z)

r=f₂(x, у, z)

За методом Лагранжа розглядається рух рідкої частки з початковими координатами а, b, c, тому

x=f₁(а, b, c, t)

y=f₂(а, b, c, t)

z=f₃(а, b, c, t)

r=f₄(а, b, c, t),

де x, y, z – координати частки, що рухається у момент часу t; a,b,c - координати частки у початковому її положенні у момент часу t₀. Ці залежності дають змогу визначити усі кінематичні характеристики руху зафіксованої частки рідини, зокрема її швидкості і прискорення, як похідні по часу.

Метод Лагранжа вимагає складнішого математичного апарату, тому метод Ейлера набув більшого поширення.

Запишемо вираз для проекції прискорення частки рідини на одну з координатних осей, наприклад, x. Маємо

.

Щоб знайти цю величину слід врахувати, що проекція швидкості u_x (як і дві інші проекції) є функцією координат x, y, z, котрі у свою чергу залежать від часу t. Подамо величину du_x у вигляді повного диференціалу.

.

Поділимо обидві частини рівняння на dt. Врахувавши, що , отримаємо

Аналогічні вирази можна записати і для двох інших компонент.

Отриманий вираз має назву повної або субстанціональної похідної. Встановимо зміст величин, що входять в нього. Похідна - проекція локального прискорення, що характеризує зміну швидкості у часі в даній точці простору. Це прискорення обумовлене нестаціонарністю процесу. З цього випливає, що якщо рух усталений, то локальне прискорення відсутнє (). Три інших члени рівняння – проекції конвективного прискорення, що виникає при переході частки х однієї точки простору до іншої, воно обумовлено нерівномірністю швидкісного поля (нерівномірним розподілом швидкостей).

Дата добавления: 2014-01-07