Аналіз руху деформації рідкої частки

Як уже згадувалось, у зв’язку з легкою деформованістю, рідка частка крім поступального і обертального рухів може брати участь і в деформаційному русі. Найважливішою особливістю наведених нижче викладок і міркувань є те, що вони розкривають фізичний смисл і вносять ясність у низку, здавалось би абстрактних понять.

Розглянемо рідку частку у формі прямокутного паралелепіпеда (рис.6.5). Довжина його ребер dx, dy, dz. Деформування такої рідкої частки може бути як лінійною (ребра видовжуються чи скорочуються), так і кутовою (грані перекошуються). Розглянемо кожний з цих видів окремо. Почнемо з кутових деформацій.

6.3.1. Кутові деформації.

З рис.6.5 випливає, що кутова деформація (перекошування) може виникнути через різницю швидкостей, що перпендикулярні до ребер. Для спрощення, обмежимось лише однією гранню, зображеною на рис.6.6.

Нехай компоненти швидкості в т. А дорівнюють u_x, u_y, u_z. Знайдемо швидкості в т. B, вважаючи, що рух усталений. Приріст компоненти швидкості при переході з однієї точки простору до іншої можна подати як u+du. Так для проекції u_x можемо записати u_x+du_x, де

(6.8)

Аналогічні вирази можна записати і для інших проекцій.

Розглянемо приріст u_x при переході від т. А до т. В (dx=dz=0), тобто

Допустимо, що за час dt за рахунок різниці швидкостей в точках А і В ребро займе положення АВ’.

отримаємо: .

За рахунок різниці швидкостей в т. А (u_y) і D (u_y(D)) точка D займе позицію D’. Таким чином

Шлях, що проходить точка В за час dt у положення B’, визначає величину перекосу

Кутова деформація характеризується тангенсом кута dα. При цьому, якщо кут α малий

Аналогічно

Повний перекіс спочатку прямого кута А визначається як сума

(6.9)

Тут слід звернути увагу на одну досить важливу обставину: розглянуте переміщення ребер викликане не тільки деформацією, але і обертанням частки. Дійсно, якщо би грань тільки деформувалась без обертання, то ребра повернулись би на однаковий кут назустріч одне одному. Навпаки, якщо б відбувалось лише обертання, то ребра повернулись би на однаковий кут у напрямку обертання. Значить, у загальному випадку рух елемента можна розглядати як суму деформаційного і обертального рухів. Розглянемо деформацію прямого кута А, вважаючи, що обертання відбувається проти стрілки годинника. Чисто деформаційний рух будемо характеризувати кутами dγ, а чисто обертальний – dε.

З рис. 6.7 випливає, що

, або , звідки

(6.10)

Віднявши, отримаємо

(6.11)

Таким чином, деформація характеризується пів сумою кутів, а обертання піврізницею. Беручи до уваги (6.9), можемо записати

(6.11)

Швидкість кутової деформації, що відбувається навколо осі z

(6.12)

По аналогії

(6.13)

(6.14)

Вираз це - кутова швидкість обертання рідкої частки. Проекції кутових швидкостей

(6.15)

(6.16)

(6.17)

Співвідношення (6.15-6.17) грають важливу роль в механіці рідин. Вони встановлюють зв’язок між кутовою і поступальною швидкостями рідкої частки.

Дата добавления: 2014-01-07