Рівняння нерозривності стаціонарного руху рідини в гідравлічній формі

Розглянемо спочатку елементарну струминку (рис.7.2). Відповідно до закону збереження маси можна стверджувати, що масова витрата через усякий живий переріз елементарної струминки є величиною сталою, тобто dm=urdω=const.

Цей висновок випливає з властивостей елементарної струминки: у протилежному випадку масова витрата повинна зростати або зменшуватись необмежено, а це суперечить умові стаціонарного руху рідини.

Отже, для будь-яких живих перерізів стисливої рідини або газу в елементарній струминці справедливою є умова

r₁u₁dω₁=r₂u₂dω_2=…..=r_nu_ndω_n=const. (7.9)

Рівняння (7.9) називають рівнянням нерозривності або суцільності руху для елементарної струминки стисливої рідини або газу. Якщо r=const, тобто рідина нестислива, то рівняння нерозривності руху (7.9) можна записати у вигляді

u₁dω₁=u₂dω_2=…..=u_ndω_n=const. (7.10)

Цей вираз відображає властивість нестисливої рідини, тому його інколи називають рівнянням нестисливості рідини для елементарної струминки.

З (7.10) випливає, що площа живого перерізу елементарної струминки не може дорівнювати нулю, оскільки в такому разі швидкість у цьому перерізі струминки прямуватиме до нескінченості, що фізично неможливе. Тому елементарна струминка в потоці не може обриватися в середині рідини або закінчуватися вістрям.

Рис. 7.4. Реальний потік

Аналогічно викладеному вище можна одержати рівняння нерозривності руху для реального потоку (рис.7.4), якщо просумувати витрати в елементарних струминках в межах кожного живого перерізу окремо. У результаті для стисливої рідини або газу вздовж потоку маємо

r₁V₁ω₁=r₂V₂ω_2=…..=r_nV_nω_n=const, (7.11)

де V_i – середні швидкості у живих перерізах.

При стаціонарному русі рідини, а у деяких випадках і газів (при невеликих швидкостях), зміною питомої маси можна знехтувати, тобто прийняти r=const.

Тоді рівняння (7.11) можна переписати у вигляді

V₁ω₁=V₂ω_2=…..=V_nω_n=const. (7.12)

Можна сказати, що рівняння (7.12) є аналітичним записом закону збереження маси в гідравлічній формі для потоку нестисливої рідини. Це і є рівняння нерозривності для потоку рідини, котре формулюється так: витрата рідини через довільний переріз потоку при встановленому русі є величиною сталою. З рівняння (7.12) для двох перерізів можна записати

V₁/V₂=ω₂/ω₁. (7.13)

Тобто середні швидкості потоку обернено пропорційні площам відповідних живих перерізів.

Дата добавления: 2014-01-07