Описання випадкових похибок за допомогою функцій розподілу

План

Тема: Похибки

1. Поняття похибки.

2. Описання похибок диференційними та інтегральними функціями розподілу.

3. Описання похибок моментами.

4. Рівномірний та нормальний розподіл випадкових похибок.

5. Точкова оцінка істинності значень.

6. Оцінка похибок за допомогою інтервалів.

7. Класифікація систематичних похибок

При аналізі вимірювань виділяють два поняття: істине фізичне значення величини та його емпіричне виявлення – результат вимірювання.

Істині значення фізичної величини ідеально відображають властивості даного об’єкта, у якісному та кількісному відношенні, тоді як результати вимірювання – продукт людського пізнання світу який в тій чи іншій мірі наближається до істиного значення фізичної величини: залежить від багатьох причин (методу, засобу вимірювання, експериментатора, технічних засобів, що використовуються). По цій причині вводиться поняття похибки:

Різниця між результатом вимірювання Х^/ та істиним значенням Q вимірюваної величини називається похибкою вимірювання:

= Х^/ - Q. (5.1)

Проте значення Q у всіх випадках є невідомим, тому замість істиного значення фізичної величини використовують так зване дійсне значення, щоб більш-менш точно оцінити похибку.

Під дійсним значенням фізичної величини розуміють її значення, знайдене експериментально, і настільки близьке до істиного, що для даної задачі воно може бути використане замість нього.

Причинами виникнення похибок є недосконалість методів вимірювання, технічних засобів, що використовуються при вимірюваннях, органів відчуттів спостерігача, та причини, що пов’язані з впливом зовнішнього середовища. Кожна з вказаних причин є джерелом численних факторів під впливом яких складається сумарна похибка, описана формулою (5.1).

Всі ці фактори можна розділити на дві групи:

1) фактори, що з’являються нерегулярно, або з непередбаченою інтенсивністю. Доля сумарної похибки, що визначається ними, називається випадковою похибкою. У свою чергу їх можна розділити на грубі погрішності (що визначаються значними відхиленнями у роботі обладнання) та промахи (пов’язані із спостерігачем – неправильне використання обладнання, помилки при зчитуванні значень та їх запису).

2) фактори, що є постійними або змінюються закономірно на протязі експерименту. Такі фактори викликають частину загальної похибки яка називається систематичною похибкою вимірювання.

Таким чином для похибки можна записати:

, (5.2)

де - випадкова, - систематична похибка, які в любому вимірюванні завжди проявляються одночасно.

Для отримання результатів, максимально близьких до істинних, вимірювання проводять багатократно, а потім результати обробляють математично. Тому функцію похибки досліджують як функцію номеру виміру або часу: (t). Окремі значення похибки трактують як: ₁ = (t₁), ₂ = (t₂), …, _n = (t_n). Тобто, маємо набір значень.

У загальному випадку функція є випадковою функцією часу. Від класичних функцій математичного аналізу вона відрізняється тим, що не можна сказати яке значення вона прийме у момент t_і. Можна визначити тільки вірогідний інтервал її можливих значень. Серія експериментів з багатократними вимірами називається реалізацією цієї функції.

При повторенні серії вимірів отримуємо іншу реалізацію, обов’язково відмінну від першої і т.д. (див. рис. 5.1)

Відмінності між реалізаціями випливають із факторів 1-ї групи, а фактори 2-ї групи, що реалізуються однаково у кожній серії, надають функціям _j деякі загальні риси.

Похибка, що відповідає кожному моменту часу t_і називається перерізом випадкової функції (t).

У більшості випадків також можна знайти середнє значення похибки _і. Величина _і повністю визначається дією факторів 2-ої групи. Крива, проведена через точки _і характеризує загальну поведінку похибки у часі. Таким чином крива _і – крива систематичної похибки, а - відхилення від неї, що обумовлені дією факторів 1-ї групи. Таким чином:

. (5.3)

Характер функції на практиці майже завжди відомий, тому введемо визначення випадкової похибки при умові, що = 0, як похибки вимірювання:

Випадкова похибка вимірювання визначається як різниця між виправленим результатом Х вимірювання та істинним значенням Q вимірюваної величини:

= X – Q, (5.4)

причому виправленим будемо називати результат вимірювання із якого виключена систематична похибка.

Нехай Q - постійна фізична величина, за якою спостерігають, тоді Х – результат спостереження, величина випадкова, що приймає різні значення Х_і (результати) у різних спостереженнях. Описання таких випадкових величин найбільш зручно проводити за допомогою інтегральних та диференційних функцій розподілу.

Під інтегральною функцією розподілу результатів спостережень розуміють залежність вірогідності того, що результат спостереження Х_і в і-тому досліді виявиться меншим деякого поточного значення :

, (5.5)

де Р – символ вірогідності події, яка описана у фігурних дужках.

Розглянемо результат спостереження Х_і, як на рис. 5.2.

Тоді значення інтегральної функції розподілу у т.численно рівне вірогідності того, що випадкова точка Х_і в результаті і-го виміру займе деяке положення лівіше точки . Відповідно, такі вірогідності різні для різних точок . Така функція є неспадною, а при х = Q вона має точку перегину, тобто є симетричною функцією. На практиці це говорить про рівномірність розподілу результатів вимірів навколо істинного значення Q. Інтегральна функція розподілу характеризується також як неперервна.

Випадкову похибку можна також розглядати як випадкову величину, що приймає у різних дослідах різні значення . Її інтегральну функцію розподілу отримують переносом початку координат у точку х = Q:

. (5.6)

Більш наочним є опис результатів вимірювання та випадкових похибок за допомогою диференційної функції розподілу, яку ще називають густиною розподілу вірогідностей та позначають як p_x(x) або p_δ(δ).

Диференційна функція розподілу є функція, похідна від інтегральної, по своєму аргументу:

(5.7)

Графік диференційної функції називається кривою розподілу, та найчастіше має дзвіноподібну форму та максимум при x=Q або δ=0 (рис. 5.3).

Перехід до інтегральної функції здійснюється простим інтегруванням:

. (5.8)

Так як F_Х (+) = 1, то можна записати:

. (5.9)

Тобто, (5.8) показує, що площа під кривою розподілу рівна одиниці.

Виходячи із поняття функції розподілу можна отримати вирази вірогідності того, що результат спостереження Х або випадкова похибка попаде у інтервал (х₁;х₂] або (]:

Р(х₁<Хх₂) = = Р{, (5.10)

P() = P{-} – P{-} = =FF. (5.11)

Тобто, вірогідність попадання результату спостереження або випадкової похибки у заданий інтервал рівна різниці значень функції розподілу на межах цього інтервалу.

Аналогічно для диференційної форми:

Р {x₁<Xx₂} = = , (5.12)

P{} = = (5.13)

Тобто, вірогідність попадання результату або включення похибки у даний напіввідкритий інтервал дорівнює площі фігури, обмеженої кривою розподілу, віссю абсцис та перпендикулярами до неї на межах цього інтервалу.

Р_Х(х)dх та р- елементи вірогідності, вони рівні вірогідності того, що величини Х або попадуть у інтервали dx та d. Тому по формі кривої можна робити висновок про ступінь вірогідності тих, чи інших значень. Так, для кривої розподілу на рис.5.3 більш вірогідні малі значення похибки, а менш вірогідні – великі.

Таким чином видно, що результати в основному групуються навколо істинного значення, тому для оцінки його використовують координату центра ваги фігури, утвореної кривою розподілу та віссю абсцисс – математичне чекання:

М[Х] = m_x = . (5.14)

На закінчення дамо більш строгі визначення постійної систематичної та випадкової похибок.

Систематичною постійною похибкою називається відхилення математичного чекання результатів спостережень від істиного значення вимірюваної величини:

= М[X] – Q. (5.15)

Випадковою похибкою називається різниця між результатом одиничного спостереження та математичним чеканням результатів:

= Х – М[X]. (5.16)

Тоді істинне значення буде:

Q = X -- (5.17)

Дата добавления: 2014-01-07