Множинна кореляція і регресія

При аналізі взаємозв’язків соціально-економічних явищ, як правило, з’ясовується, які факторні ознаки впливають на результат і як з них слід включити у регресійну модель. При цьому слід пам’ятати, що всі фактори врахувати в моделі неможливо з ряду причин: частина факторів просто невідома сучасній науці, про частину відомих факторів немає достовірної інформації або кількість факторів, що включені в модель, може бути обмежена обсягом вибірки (кількість факторних ознак має бути на порядок менше чисельності досліджуваної сукупності).

Множинна регресія описує форму зв’язку у вигляді рівняння множинної регресії, або регресійної моделі (табл. 3).

Таблиця 3

Основні види множинної регресії

Форма регресії	Вид рівняння парної регресії
Лінійна
Гіперболічна
Параболічна
Степенева

У таблиці позначено:

– теоретичне значення результативної ознаки (y) при певних значеннях факторних ознак (), підставлених в регресійне рівняння;

– вільний член рівняння;

– коефіцієнти множинної регресії.

Параметри рівняння множинної регресії називають коефіцієнтами множинної регресії і визначають за допомогою МНК шляхом розв’язання системи нормальних рівнянь. При цьому число нормальних рівнянь у загальному випадку буде дорівнює числу параметрів. Якщо зв’язок окремого фактора з результатом не є лінійним, то проводять лінеаризацію рівняння. Для спрощення розв’язання системи нормальних рівнянь значення всіх ознак замінюють на відхилення індивідуальних значень ознак від їх середніх величин. Отримані коефіцієнти множинної регресії є іменованими числами і показують, на скільки зміниться результативна ознака (по відношенню до своєї середньої величини) при відхиленні факторної ознаки від своєї середньої на одиницю і при сталості (фіксованому рівні) інших факторів.

Значимість коефіцієнтів множинної регресії оцінюється на основі t-критерію Ст’юдента: розраховують як відношення взятого за модулем коефіцієнта регресії до його середньої помилки з заданими рівнем значущості і числом степенів свободи ().

Коефіцієнти регресії можна перетворити в порівняльні відносні показники – стандартизовані коефіцієнти регресії або β -коефіцієнти (5). β -коефіцієнт дозволяє оцінити міру впливу варіації факторної ознаки на варіацію результату при фіксованому рівні інших факторів:

, (5)

де – середнє квадратичне відхилення факторної ознаки,

– середнє квадратичне відхилення результативної ознаки;

– коефіцієнт регресії при відповідному факторному ознаці .

При інтерпретації результатів кореляційно-регресійного аналізу часто використовують часткові коефіцієнти еластичності (). Коефіцієнт еластичності (6) показує, на скільки відсотків у середньому зміниться значення результативної ознаки при зміні факторної на 1% і при сталості (фіксованому рівні) інших факторів:

, (6)

де – середнє значення факторної ознаки;

– середнє значення результативної ознаки.

Множинна кореляція характеризує тісноту і направленість зв’язку між результативною і кількома факторними ознаками. Основою вимірювання зв’язків є матриця парних коефіцієнтів кореляції. За нею можна в першому наближенні судити про тісноту зв’язку факторних ознак між собою і з результативною ознакою, а також здійснювати попередній відбір факторів для включення їх до рівняння регресії. При цьому не слід включати в модель фактори, що слабо корелюють з результативною ознакою і тісно пов’язані між собою. Не допускається включати в модель функціонально пов’язані між собою факторні ознаки, так як це призводить до невизначеності рішення.

Більш точну характеристику тісноти залежності дають часткові коефіцієнти кореляції. Їх зручно аналізувати, якщо вони представлені в табличному вигляді. Частковий коефіцієнт кореляції служить показником лінійного зв’язку між двома ознаками, виключаючи вплив всіх інших представлених у моделі факторів. Наприклад, для двофакторної моделі частковий коефіцієнт кореляції між y і при фіксованому () визначається відповідно до (7).

. (7)

де – парні коефіцієнти кореляції.

Перевірка значущості часткових коефіцієнтів кореляції аналогічна, як і для парних коефіцієнтів кореляції.

Множинний коефіцієнт кореляції (R) розраховується при наявності лінійного зв’язку між всіма ознаками регресійної моделі. Він змінюється в межах від 0 до 1. Значимість множинного коефіцієнта кореляції перевіряється на основі F-критерію Фішера. Наприклад, в двофакторній моделі при оцінці зв’язку між результативною і факторною ознаками для визначення множинного коефіцієнта кореляції можна використовувати формулу (8):

або (8)

де – дисперсія результативної ознаки, розрахована за регресійним рівнянням;

– загальна дисперсія результативної ознаки;

– парні коефіцієнти кореляції.

Квадрат множинного коефіцієнта кореляції називають множинним коефіцієнтом детермінації (R²). R² оцінює частку варіації результативного фактора за рахунок представлених у моделі факторів у загальної варіації результату. Множинний коефіцієнт детермінації зазвичай коригують на втрату степенів свободи варіації за формулою (9):

, (9)

де – коригуючий множинний коефіцієнт детермінації;

R² – множинний коефіцієнт детермінації;

n – обсяг сукупності;

m – кількість факторних ознак.

Статистична надійність регресійного рівняння в цілому оцінюється на основі F-критерію Фішера: перевіряється нульова гіпотеза про невідповідність представлених регресійним рівняння зв’язків реально існуючим (). Для перевірки слід розрахувати значення F-критерію () і порівняти його з табличним значенням () із заданим рівнем значущості () і числом степенів свободи (і ). визначається зі співвідношення факторної і залишкової дисперсії, розрахованих на одну степінь свободи за формулою (10):

, (10)

де – суми квадратів відхилень, що характеризують факторну і залишкову варіації результативної ознаки.

У разі однофакторного дисперсійного комплексу і виражаються у відповідності до (11);

– число степенів свободи факторної дисперсії;

– число ступенів свободи залишкової дисперсії.

(11)

де – значення результативної ознаки у i-ї одиниці в j-й групі;

i – номер одиниці сукупності;

j – номер групи;

– чисельність j-ї групи;

– середня величина результативної ознаки в j-й групі;

– загальна середня результативної ознаки.

Якщо , то гіпотеза відхиляється. При цьому з ймовірністю або 95%, приймається альтернативна гіпотеза про невипадкову природу оцінюваних характеристик, тобто визнається статистична значимість регресійного рівняння і його параметрів.

Дата добавления: 2014-01-07