Определение и свойства

Производная функции.

К понятию производной приводит задача о вычислении мгновенной скорости движущейся материальной точки, задача о вычислении скорости изменения стоимости акций, задача о касательной к кривой и другие задачи.

Определение. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Производной функции называется

(1)

Если предел в (1) существует, то функция называется дифференцируемой в точке . В противном случае говорят, что функция не имеет производной в точке или не дифференцируема точке .

Для обозначения производной используются также символы:

Обозначим и называются приращениями аргумента и функции соответственно. Тогда и при . Поэтому равенство (1) можно переписать так:

.

Определение. Функция называется дифференцируемой на промежутке R, если она дифференцируема в каждой точке этого промежутка.

Сформулируем основные правила дифференцирования.

Пусть и дифференцируемые в точке функции и const. Тогда

(производная константы равна 0);

;

Правило дифференцирования сложной функции.

Пусть функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в точке .Тогда сложная функция дифференцируема в точке и

Таким образом, производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции.

Приведем таблицу производных основных элементарных функций.

8.tg

9.ctg

12.arctg

13.arcctg

Формулы 1. – 9. данной таблицы получаются из таблицы пределов с помощью правил Например, Здесь мы использовали формулу (2) и правило 4.

Используя правила дифференцирования 1.- 6. и таблицу производных можно найти производную любой элементарной функции.

Пример 1.

Пример 2. Пусть . Найти . Выделим у этой сложной функции внешнюю и внутреннюю функции: , где

Пользуясь правилом 6, найдем

.

Замечание 1. Из предыдущего примера видно, как важно при вычислении производной сложной функции правильно выделить внешнюю и внутреннюю функции.

Замечание 2. Если функция дифференцируема в точке , то непрерывна в точке . Действительно,

Обратное неверно. То есть дифференцируемая в точке функция может не иметь производной в точке . Например, функция непрерывна при всех , но не дифференцируема при

Задача. Доказать, что функция не дифференцируема при

Дата добавления: 2014-01-07