Понятие устойчивости по А. М. Ляпунову

(1892 год.)

Рассмотрим непрерывную многомерную систему в свободном движении, математическая модель которой следующая:

… (1)

Здесь X_i — любая линейная или нелинейная функция, а x_i — обобщённая фазовая координата или переменная состояния системы n-мерного порядка (фазовые координаты).

В n-мерном фазовом пространстве (пространстве состояний) в фиксированный момент времени x_i определяют состояние системы в виде точки с соответствующими координатами, например, при n=3:

M(x) — изображающая точка. В переходном режиме изображающая точка описывает некоторую траекторию, которую назовём фазовой.

Проекции вектора скорости изображающей точки на оси — левые части уравнений (1), следовательно, о поведении системы в переходном режиме можно судить по правым частям уравнений (1).

Так, например, если n=2, имеем фазовую плоскость:

Исключая из этой системы время t, получим:

Интегрируя это уравнение, получим семейство фазовых траекторий (фазовый портрет) системы, каждая из которых соответствует определённому значению постоянной интегрирования.

Фазовый портрет полностью определяет основные свойства свободного движения системы.

Пусть в начальный момент времени изображающая точка M(xi0) при t=0 начала двигаться по некоторой невозмущённой фазовой траектории и пусть в тот же самый начальный момент времени на неё подействовал мгновенный кратковременный импульс, который сместил эту точку в положение . В результате точка M будет двигаться по возмущённой траектории .

Таким образом, движение системы устойчиво, если при сдвиге начального положения изображающей точки на величину не более малой положительной величины (*) возмущённое движение в последующие моменты времени будет отличаться от невозмущённого на величину не более сколь угодно малой величины (**).

В противном случае движение системы не устойчиво.

Если при этом выполняется условие (***), то движение асимптотически устойчиво. Следовательно, по Ляпунову оценивается устойчивость системы при достаточно малых начальных отклонениях. Линейная стационарная система, устойчивая “в малом”, будет устойчива и “в большом”.

Дата добавления: 2014-01-07