Свойства вероятностей

1) для всех i =1,2,…, п.

Доказательство.

Событие можно записать в виде суммы m несовместных событий:

=++…+.

По формуле сложения вероятностей для несовместных событий получаем

Р = Р + Р +…+ Р =

2) для всех j =1,2,…, m.

Отсюда следует, что случайные величины Х и У имеют распределения:

Х			…
Р			…

- сумма вероятностей в i -й строке.

			…
Р			…

- сумма вероятностей j-го столбца.

Задача 1.

Из 12 лотерейных билетов 4 выигрышных. Двое вытягивают по билету, сначала первый тянет, затем второй. Пусть с.в. Х - число выигрышных билетов у первого, У - у второго. Составить совместный закон распределения случайных величин Х и У.

Решение.

Каждая из случайных величин может принимать значения 0, 1.

Используя формулу умножения вероятностей, найдем

= Р ==.

Аналогично вычислим вероятности , , и получим таблицу совместного распределения случайных величин Х и У.

У Х

Задача 2.

Дано совместное распределение случайных величин Х и У.

У Х	-1
	0,1	0,3	0,2
	0,15	0,25

Найти распределение каждой из случайных величин Х и У.

Решение.

Для с.в. Х += 0,1+0,3+0,2=0,6

+= 0,15+0,25+0=0.4;

Следовательно, с.в. Х имеет распределение

Х
Р	0,6	0,4

Для с.в. У вероятности получим, суммируя вероятности j- го столбца.

С.в. У имеет распределение

У	-1
Р	0,25	0,55	0,2

Ковариация (корреляционный момент). Коэффициент корреляции.

Определение 1

Ковариацией случайных величин Х и У называется число .

Ковариацию часто удобно вычислять по формуле

. (1)

Доказательство.

Формула получается из определения и свойств математического ожидания.

Обозначим

Определение 2

Коэффициентом корреляции случайных величин Х и У называется число

(2)

Свойства коэффициента корреляции.

1) Коэффициент корреляции по абсолютной величине не превосходит 1, т.е.

или

2) Если , то с.в. Х и У связаны линейной функциональной зависимостью, т.е.

Верно и обратное утверждение: если с.в. Х и У связаны линейной зависимостью, то . Причем при а >0 и при а <0.

3) Если с.в. Х и У независимы, то .

Если , то случайные величины Х и У называют некоррелированными (несвязанными).

- говорит лишь об отсутствии линейной зависимости (связи), но не о зависимости вообще.

Независимость некоррелированность.

Обратное утверждение неверно, т.е. из равенства нулю коэффициента корреляции не следует независимость случайных величин.

Если , то случайные величины Х и У называют коррелированными.

Если , то это свидетельствует о зависимости Х и У.

Две коррелированные случайные величины – зависимы.

Из свойств коэффициента корреляции следует, что он характеризует степень линейной зависимости случайных величин. Чем больше по модулю коэффициент корреляции, тем сильнее линейная зависимость между этими случайными величинами.

Задача 3.

Совместное распределение случайных величин Х и У дано в задаче 2. Найти

коэффициент корреляции .

Решение.

Из формул (1) и (2) следует, что для нахождения необходимо знать Вычислим эти величины.

1) Вычисление и

Для нахождения и требуется знать распределение с.в. Х и в задаче 2 оно уже составлено

Х
Р	0,6	0,4

Тогда .

Составим распределение с.в.

Х^2
Р	0,6	0,4

2) Вычисление и .

Распределение с.в. имеет вид (см. задачу 2):

У	-1
Р	0,25	0,55	0,2

Составим распределение с.в. .

^2
Р	0,25	0,55	0,2

;

Тогда

3) Вычисление

4) Вычисление и .

Дата добавления: 2014-01-07