Формулы логики высказываний. Равносильность формул

Определение 1.2. Формула логики высказываний определяется индуктивно следующим образом:

1. Любая высказывательная переменная, а также константы И, Л есть формула.

2. Если A и B – формулы, то Ø А, A V B, A & B, А É B, А ~ B есть формулы.

3. Ничто, кроме указанного в пунктах 1 – 2, не есть формула.

Две формулы называются равносильными, если на всех одинаковых наборах переменных значения этих формул совпадают.

Равносильность формул A и B будем обозначать следующтм образом: A º B.

Для того, чтобы установить равносильность формул, можно составить таблицы значений для каждой формулы и сравнить их. Для равносильных формул эти таблицы совпадают. Другой способ установления равносильности формул заключается в использовании некоторых установленных равносильностей формул логики высказываний.

Все законы равносильности, рассмотренные ранее для логики булевых функций, справедливы и для формул логики высказываний, причем единице соответствует истинностное значение И, а нулю – Л. Приведем эти законы.

Для любых формул A, B, C справедливы следующие равносильности:

1. Коммутативность.

а) A & B º B & A (для конъюнкции);

б) A V B º B V A (для дизъюнкции).

2. Ассоциативность.

а) A &(B & C) º (A & C)& C (для конъюнкции);

б) A V(B V C) º (A V B)V C (для дизъюнкции).

3. Дистрибутивность.

а) A &(B V C) º A & B V A & C (для конъюнкции относительно дизъюнкции);

б) A V(B & C) º (A V B)&(A V C) (для дизъюнкции относительно конъюнкции).

4. Закон де Моргана.

а) Ø(A & B) ºØ A VØ B (отрицание конъюнкции есть дизъюнкция отрицаний);

б) Ø(A V B) º Ø A &Ø B (отрицание дизъюнкции есть конъюнкция отрицаний).

5. Идемпотентность.

а) A & A º A (для конъюнкции);

б) A V A º A (для дизъюнкции).

6. Поглощение.

а) A &(A V B) º A (1– ый закон поглощения);

б) A V A & B º A (2– ой закон поглощения).

7. Расщепление (склеивание).

а) A & B V A &(Ø B) º A (1–ый закон расщепления);

б) (A V B) & (A VØ B) º A (2–ой закон расщепления).

8. Двойное отрицание.

Ø(Ø A) º A.

9. Свойства констант.

а) A &И º A; б) A &Л º Л; в) A VИ º И; г) A V0 º A; д) ØЛ º И; е) ØÈ º Л.

10. Закон противоречия.

A &Ø A º Л.

11. Закон “исключенного третьего”.

A VØ A º И.

12. A É B ºØ A V B º Ø(A &Ø B).

13. A ~ B º (A É B)&(B É A) º (A & B) V (Ø A &Ø B) º (АVØ B)&(Ø A V B).

Каждая из перечисленных равносильностей может быть доказана с помощью таблиц значений функций, составленных для выражений, стоящих слева и справа от символа “º”.

Справедливы также обобщенные законы дистрибутивности и обобщенные законы де Моргана:

14. (A ₁V A ₂V...V A_n)&(B ₁V B ₂V...V B_m) º

A ₁& B ₁V A ₁& B ₂V...V A ₁& B_m V...V A_n & B ₁V A_n & B ₂V...V A_n & B_m.

15. (A ₁& A ₂&...& A_n)V(B ₁& B ₂&...& B_m) º

(A ₁V B ₁)&(A ₁V B ₂)&...&(A ₁V B_m)&...&(A_n V B ₁)&(A_n V B ₂)&...&(A_n V B_m).

16. Ø(A ₁& A ₂&...& A_n) º Ø A ₁VØ A ₂V...VØ A_n.

17. Ø(A ₁V A ₂V...V A_n) ºØ A ₁&Ø A ₂&...&Ø A_n

В равносильностях 1 – 17 в качестве A, B, A_i, B_i могут быть подставлены любые формулы и, в частности, переменные.

Пример 1.9.

Доказать равносильность формул логики высказываний:

(А É B) & (A V B) º B.

Преобразуем левую часть, последовательно используя равносильности 12, 14, 10, 5а, 9г, 6б:

(А É B) & (A V B) º (Ø А V B) & (A V B) º Ø А & A V Ø А & B V B & А V B & B º Ø А & B V B & А V B º B.

Равносильность доказана.

Дата добавления: 2014-01-07