Интегральная функция распределения вероятностей случайной величины (функция распределения)

Функции распределения непрерывных случайных величин

Способ задания дискретных случайных величин не применим к непрерывным случайным величинам. Если рассматривать некоторую непрерывную случайную величину X, возможные значения которой целиком заполняют некоторый интервал (а, b), то ясно, что указать весь набор возможных значений X невозможно. Однако есть способ задания любых типов случайных непрерывных величин - например, с помощью функции распределения.

Пусть х – некоторое действительное число, обозначенное точкой на числовой оси. Вероятность того, что случайная величина Х принимает значения менее х, то есть р(Х<х), обозначим F(х).

Интегральной функцией распределения называют функцию F(х), которая определяет для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значения меньше х, то есть F(х)=р(Х<х).

Если перемещаться по числовой оси вправо, то вероятность того, что случайная величина X появится левее значения х будет расти. В пределе (х→∞)

F(x) = р(Х<1)=1.

Свойства F(х) (рис. 2.4)

F(х)

1

F(х₂) – F(х₁)

а 0 х₁ х₂ b х

рис.2.4 График интегральной функции распределения

1. Значения F (х) принадлежат отрезку (0,1), то есть 0≤ F(х)≤1.

2. F(x) — неубывающая функция, то есть, если:х₂>х₁, то F(x₂)≥F(x_l).

3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а, b), то F(x)=0 при x≤а и F(x) = 1 при х>b.

Следствия:

а) Вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале (a₁,b₁), равна приросту интегральной функции на этом интервале:

р(а₁≤Х≤b₁)=F(b₁) - F(a₁). (2.25)

б) Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет единственное (конкретное) значение, равна нулю.

в) Если возможные значения непрерывной случайной величины размещены на всей прямой (-∞,∞), то справедливы граничные соотношения:

lim_x→-∞F(x)=0; lim_x→∞F(x)=1

Пример. На рис.2.5, и 2.6 изображены соответственно графики непрерывной и дискретной величин:

0, при х≤ -1

F(х)= , при -1<х≤3

1, при х>3

Х 1 4 8

Р 0,3 0,1 0,6

F(x)

1,0

0,75

0,5

0,25

-1 0 1 2 3 х

Рис.2.5 График функции распределения непрерывной случайной величины

Рис. 2.6 График функции распределения дискретной случайной величины

Непрерывную случайную величину можно также задать дифференциальной функцией.

Дата добавления: 2014-01-07