Понятие и характеристики моделей с распределенным лагом

Учебные вопросы

Модель Койка.

Лаги Алмон.

Понятие и характеристики моделей с распределенным лагом.

План

Москва

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИИ № 7

на тему: «Модели с распределенным лагом»

Дисциплина: Эконометрика

Будем рассматривать динамические эконометрические модели. Эконометрическая модель является динамической, если в данный момент времени t она учитывает значения входящих в нее переменных, относящиеся как к текущим, так и к предыдущим моментам времени, т.е. если эта модель отражает динамику исследуемых переменных в каждый момент времени.

Будем рассматривать модели, в которых значения переменных за прошлые периоды времени (лаговые переменные) непосредственно включены в модель (присутствуют в явном виде). Это модели с распределенным лагом.

При исследовании экономических процессов нередко приходится моделировать ситуации, когда значение результативного признака в текущий момент времени t формируется под воздействием ряда факторов, действовавших в прошлые моменты времени t – 1, t – 2, …, t – l. Величину l,

характеризующую запаздывание в воздействии фактора на результат, называют лагом, а временные ряды самих факторных переменных, сдвинутые на один или более моментов времени, –лаговыми переменными.

Разработка экономической политики как на макро-, так и на микроуровне требует решения обратного типа задач, т.е. задач, определяющих, какое воздействие окажут значения управляемых переменных текущего периода на будущие значения экономических показателей.

Эконометрическое моделирование охарактеризованных выше процессов осуществляется с применением моделей, содержащих не только текущие, но и лаговые значения факторных переменных. Эти модели называются моделями с распределенным лагом. Например,

y_t = a + b₀x_t + b₁x_t-1 + b₂x_t-2 + ε_t –

модель с распределенным лагом.

Наряду с лаговыми значениями независимых, или факторных, переменных на величину зависимой переменной текущего периода могут оказывать влияние ее значения в прошлые моменты или периоды времени. Эти процессы обычно описывают с помощью моделей регрессии, содержащих в качестве факторов лаговые значения зависимой переменной, которые называются моделями авторегрессии. Например, модель вида

y_t = a + b₀x_t + c₁y_t-1 + ε_t –

модель авторегрессии.

Построение моделей с распределенным лагом и моделей авторегрессии имеет свою специфику. Во-первых, оценка параметров модели авторегрессии, а в большинстве случаев и моделей с распределенным лагом не может быть произведена с помощью обычного МНК ввиду нарушения его предпосылок и требует специальных статистических методов. Во-вторых, исследователям приходится решать проблемы выбора оптимальной величины лага и определения его структуры. Наконец, в-третьих, между моделями с распределенным лагом и моделями авторегрессии существует определенная взаимосвязь, и в некоторых случаях необходимо осуществлять переход от одного типа моделей к другому.

2. Лаги Алмон. Рассмотрим общую модель с распределенным лагом, имеющую конечную максимальную величину лага l, которая описывается соотношением

y_t = a + b₀x_t + b₁x_t-1 + … + b_px_t-p + ε_t (1)

Эта модель говорит о том, что если в некоторый момент времени t происходит изменение независимой переменной х, то это изменение будет влиять на значения переменной у в течение l следующих моментов времени.

Коэффициент регрессии b₀ при переменной x_t характеризует среднее абсолютное изменение y_t при изменении x_t на 1 ед. своего измерения в некоторый фиксированный момент времени t без учета воздействий лаговых значений фактора х. Этот коэффициент называют краткосрочным мультипликатором.

В момент (t + 1) совокупное воздействие факторной переменной x_t на результат у_t составит (b₀ + b₁) усл. ед., в момент (t + 2) это воздействие составит (b₀ + b₁ + b₂) и т.д. Полученные таким образом суммы называют промежуточными мультипликаторами.

С учетом конечной величины лага можно сказать, что изменение переменной x_t в момент t на 1 усл. ед. приведет к общему изменению результата через l моментов времени на (b₀ + b₁ + … +b_l) абсолютных единиц.

Величину

b = b₀ + b₁ + … + b_l

называют долгосрочным мультипликатором. Он показывает абсолютное изменение результата у в долгосрочном периоде t + l под влиянием изменения фактора х на 1 ед.

Предположим, что было установлено, что в исследуемой модели имеет место полиномиальная структура лага, т.е. зависимость коэффициентов регрессии b_i от величины лага описывается полиномом k -ой степени. Частным случаем полиномиальной структуры лага является линейная модель. Лаги, структуру которых можно описать с помощью полиномов, называют лагами Алмон, по имени Ш. Алмон, впервые обратившей внимание на такое представление лагов.

Формально модель зависимости коэффициентов b_j от величины лага j в форме полинома можно записать в следующем виде:

– для полинома 1- й степени: b_j = c₀ + c₁j;

– для полинома 2- й степени: b_j = c₀ + c₁j + с₂j²;

– для полинома 3- й степени: b_j = c₀ + c₁j + с₂j² + c₃j³ и т.д.

В наиболее общем виде для полинома k -ой степени имеем:

b_j = c₀ + c₁j + с₂j² + … + c_kj^k.

Тогда каждый из коэффициентов модели (1) можно выразить следующим образом:

b₀ = c₀;

b₁ = c₀ + c₁ + … + c_k;

b₂ = c₀ + 2c₁ + 4c₂ + … + 2^kc_k;

b₃ = c₀ + 3c₁ + 9c₂ + … + 3^kc_k;

и т.д.

b_l = c₀ + lc₁ + l²c2 + … + l^kc_k (2)

Подставив в (1) найденные соотношения для b_j, получим:

y_t = a + c₀x_t + (c₀ + c₁ + … + c_k)x_t-1 +(c₀ + 2c₁ + 4c₂ + … + 2^kc_k)x_t-2 + (c₀ + 3c₁ + 9c₂ + … + 3^kc_k)x_t-3 + … +(c₀ + lc₁ + l²c2 + … + l^kc_k)x_t-l + ε_t. (3)

Перегруппируем слагаемые в (3):

y_t = a + c₀(x_t + x_t-1 + x_t-2 + … + x_t-l) + c₁(x_t-1 + 2x_t-2 + 3x_t-3 + … + lx_t-l) + c₂(x_t-1 + 4x_t-2 + 9x_t-3 + … + l²x_t-l) + … + c_k(x_t-1 + 2^kx_t-2 + 3^kx_t-3 + … + l^kx_t-l) + ε_t. (4)

Обозначим слагаемые в скобках при с_i как новые переменные:

z₀ = x_t + x_t-1 + x_t-2 + … + x_t-l =

z₁ = x_t-1 + 2x_t-2 + 3x_t-3 + … + lx_t-l =

z₂ = x_t-1 + 4x_t-2 + 9x_t-3 + … + l² x_t-l = (5)

……………………………………………….

z_k = x_t-1 + 2^kx_t-2 + 3^kx_t-3 + … + l²x_t-l =

Перепишем модель (4) с учетом соотношений (5):

y_t = a + c₀z₀ + c₁z₁ + c₂z₂ + … + c_kz_k + ε_t (6)

Дата добавления: 2014-01-07