Уравнения Максвелла

Уравнения Максвелла сыграли примерно такую же революционную роль в науке, как и периодическая таблица Д.И.Менделеева. В первом случае воедино были объединены все известные к тому времени химические элементы, а в данном случае – Максвелл объединил законы, описывающие электрические и магнитные поля. Возникла волновая теория электромагнетизма, связывающая между собой электрические и магнитные явления. Волновая теория Д.Максвелла[4] использует понятие электромагнитной волны.

Открытие возможности распространения электромагнитных волн в пространстве дало толчок в развитии принципиально новых средств связи: телефона, телеграфа, радиовещания, телевидения. Это позволило описать передачу информации на расстоянии, как используя проводную связи, так и без нее. Уравнения Максвелла позволили создать теорию радиолокации и космической связи и многое другое.

Уравнения Максвелла в интегральной форме. Развивая идеи Фарадея, шотландский ученый Джеймс Максвелл создал классическое представление об электромагнитном поле, содержащем в общем случае и электрическое и магнитное поля, связанные между собой и способные взаимно превращаться друг в друга. Он также составил систему из четырех уравнений, с помощью которых можно описать эти превращения.

В отсутствие диэлектриков и магнетиков они имеют вид в интегральной форме:

(10.7.1)

(10.7.2)

(10.7.3)

(10.7.4)

Первые три уравнения были открыты учеными до Д.Максвелла. Уравнение (10.7.1) представляет собой теорему Гаусса для электрического поля. Это уравнение связывает электрическое поле с его источниками, электрическими зарядами: поток электрического поля через замкнутую поверхность равен полному заряду, заключенному внутри нее.

Уравнение (10.7.2) является теоремой Гаусса для магнитного поля, доказывает отсутствие магнитных зарядов и объясняет замкнутость силовых линий магнитного поля.

Уравнение (10.7.3) - это закон электромагнитной индукции Фарадея, показывающий наличие связи между магнитным и электрическим полем. Он утверждает, что изменение потока магнитной индукции позволяет получить переменное электрическое поле.

Уравнение (10.7.4) было написано самим Максвеллом. Он, анализируя закон Ампера, пришел к выводу, что магнитное поле создается не только электрическим током, но и переменным электрическим полем. Последнее слагаемое (10.7.4) по смыслу означает, что изменение потока электрического поля через некоторую поверхность приводит к возникновению так называемого тока смещения – дополняющего ток в законе Ампера:

(10.7.5)

Ток смещения для понимания смысла можно объяснить на примере плоского конденсатора. В рассмотренном выше примере колебания заряда на конденсаторе в колебательном контуре на пластины конденсатора натекает заряд:

Дифференцируя это выражение, получим:

, (10.7.6)

то есть возникает дополнительный ток смещения за счет вклада переменного электрического поля, который изменяет величину магнитного поля вокруг тока.

Это уравнение (10.7.5) получило название обобщенного закона Ампера.

Последние два уравнения (10.7.3) и (10.7.4) демонстрируют взаимосвязь электрического и магнитного полей. Они показывают, переменное магнитное поле порождает электрический ток, а переменное электрическое поле создает магнитное поле.

Таким образом, уравнения Максвелла содержат в себе все основные законы электрического и магнитного полей и поэтому являются общими уравнениями электромагнитного поля в покоящихся средах.

Энергия электромагнитной волны. Вектор Умова - Пойнтинга. Распространяясь в пространстве, электромагнитные волны несут энергию. Из выражений для плотностей энергии электрического и магнитного полей, которые соответственно составляют:

и , (10.7.7)

можно получить выражение для плотности энергии электромагнитных волн:

(10.7.8)

Скорость света связана с электрической проницаемостью e₀ и магнитной проницаемостью m₀ соотношением:

, (10.7.9)

Энергия, переносимая волной в единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны называется плотностью потока энергии электромагнитного излучения или вектором Пойнтинга [5]. Его направление совпадает с направлением распространения электромагнитной волны, а абсолютная величина описывается выражениями:

, (10.7.10)

где S – площадь поверхности, которую пересекает электромагнитная волна. Другие соотношения для плотности энергии электромагнитных волн описываются выражениями:

(10.7.11)

(10.7.12)

Распространение электромагнитных волн в пространстве с течением времени, например, переменного электрического поля, описывает волновое уравнение, аналогичное (5.2.23)[6]:

, (10.7.13)

где с – скорость распространения электромагнитных волн в пространстве, которая выражается соотношением (10.7.9).

Аналогично для магнитной составляющей электромагнитных волн волновое уравнение имеет вид:

(10.7.14)

Согласно (10.7.12) вектор напряженности электрического поля, магнитного поля и направление распространения электромагнитной волны взаимно перпендикулярны друг другу (рис.10.12). Для описания направления волны также справедливо правило левой руки, когда пальцы располагаются вдоль направления силовых линий электрического поля, силовое линии магнитного поля входят в ладонь, большой палец указывает направление распространения электромагнитной волны.

Рис.10.12. Перенос электромагнитной волны.

Шкала электромагнитных волн. Максвелл рассчитал, что скорость распространения электромагнитной волны 3,00×10⁸ м/с, то есть совпадает с экспериментально измеренной скоростью света.

Впервые сгенерировать и пронаблюдать электромагнитные волны в лабораторных условиях удалось Генриху Герцу[7]. Единственным отличием их от света было то, что они невидимые. На рис.10.13 представлен знаменитый эксперимент Г.Герца. Схема фактически представляет собой трансформатор, обе обмотки которого представляют колебательный контур. В его первичной обмотке присутствует источник переменного напряжения, а во вторичной - открытый колебательный контур. Возникающие электромагнитные волны приводят к возникновению вихревого электрического поля в кольце, которое не соединено с передатчиком волн и является их приемником. Поэтому между близко расположенными шариками на кольце, расположенном на некотором расстоянии от колебательного контура, возникали искры при прохождении электромагнитных волн. Под действием электромагнитных волн, возникающих в открытом колебательном контуре, в кольце возникала эдс индукции. Между шариками, по этой причина возникала разность потенциалов. Поскольку шарики, располагались близко друг к другу, и электрическое поле между ними было большим, то происходил пробой и возникала искра между шариками.

Рис.10.13. Эксперимент Г.Герца.

Шкала электромагнитных излучений (рис.10.14) представляет собой непрерывную последовательность длин волн (или частот) электромагнитных излучений, которые отличаются способом генерации и регистрации, а также по своим свойствам. Важно отметить, что границы разделения диапазонов различных видов электромагнитных излучений весьма условны.

10.14. Шкала электромагнитных волн.

Различают радиоволны, оптическое излучение и жесткие фотоны. Радиоволны существуют в природе, возникая естественным путем, например, попадают на Землю из космоса, например, из звезд или Галактик. В отличие от других видов излучения, для которых, в большинстве своем, источниками являются естественные процессы излучения атомов, молекул, атомных ядер, радиоволны получают искусственным способом. Это различные виды передающих радио- и телесистем. Кроме того, источниками радиоволн являются переменные токи в проводниках, из которых совместно с паразитными емкостями образуются колебательные контуры.

Радиоволны охватывают широкий диапазон частот от 3 кГц до 10⁹ Гц. Внутри этой группы обычно рассматривают сверхдлинные, длинные (ДВ), средние (СВ), короткие (КВ) и ультракороткие волны (УКВ). С помощью последних передают радио- и телевизионные сигналы. В зависимости от длины волны возможности передачи информации на расстояния различны. Применение этих волн распространяется от метеорологической радиолокации, спутниковой навигации, до интернета, мобильной связи, радиолокационных станций и космических систем связи.

Оптическое излучение возникает при нагревании тел из-за теплового движения атомов и молекул. Чем сильнее тело нагрето – тем выше частота его излучения. В зависимости от диапазона частот оптического излучения различают инфракрасное излучение, видимый свет, ультрафиолетовое излучение.

Инфракрасное (тепловое) излучение имеет диапазон между красной границей видимого спектра и короткими радиоволнами. В промышленности его применяют для сушки лакокрасочных поверхностей, стерилизации продуктов питания, для конструирования приборов ночного видения и многого другого. В медицине инфракрасное излучение применяется физиотерапии. Оно является основой основа современных методов гипертермии. Примером инфракрасного изучения является тепло от Солнца, печки или электрической лампочки. Мы не видим это излучение, но хорошо ощущаем его.

Видимый свет имеет, по сравнению с другими видами излучения, очень узкий диапазон с частотами от 4,0×10¹⁴ до 7,5×10¹⁴ Гц. Характеристикой света является цвет, который определяется длиной волны и изменяется в диапазоне от фиолетового до красного цвета. Если задуматься, почему окружающая нас природа так богата обилием красок и оттенков? Все вещества, растения, жидкости, живые организмы из широко спектра электромагнитных волн, падающих на них по-разному отражают свет. Именно отраженный свет определяет цвет предмета и его оттенки. Коэффициент отражения света сильно зависит от частоты, причем отражается очень узкий набор частот. Поэтому мы видим множество оттенков, которые к тому же зависят от внешних условий (пасмурный или ясный день, время дня).

Ультрафиолетовое излучение (УФ) занимает диапазон между видимым и рентгеновским излучением. Естественным источником ультрафиолетового излучения является Солнце. В промышленности, медицине и повседневной жизни широко применяются УФ лампы для стерилизации, дезинфекции воды, защиты документов ультрафиолетовыми метками, искусственного загара. Они ставятся, например, для стерилизации медицинских помещений различного назначения, и, в первую очередь, операционных.

Жесткие фотоны – это рентгеновские и гамма-лучи, имеющие частоту более 10¹⁶ Гц. Рентгеновские лучи получают в рентгеновских трубках или при распаде радиоактивных ядер. Их применяют для выявления дефектов в изделиях изучения структуры вещества, изменения структуры полимеров.

В медицине в мире работают миллионы рентгеновских аппаратов. На них проводят диагностические исследования, получают изображения скелета человека, его внутренних органов. Рентгеновские лучи - основа действующих рентгеновских томографов.

Гамма-лучи обладают очень маленькой длиной волны (~10^-6 нм) и, тем самым, хорошей проникающей способностью. Они применяются для исследований в атомной и ядерной физике, в лучевой диагностике и медицине, для стерилизации медицинских инструментов, а также тканей для трансплантации, крови. В лучевой терапии гамма лучи - наиболее широко используемый вид ионизирующего излучения для лечения онкологических заболеваний.

Пример 10.2. На использовании электромагнитных волн СВЧ - диапазона основаны многие физиотерапевтические методы. В медицине широко известны микроволновая терапия с частотой электромагнитных волн порядка 2000 – 2500 Гц, а также терапия дециметровыми волнами с частотой 400 – 500 МГц. Физический механизм их воздействия на ткани заключается в изменении направлений ориентации молекул под действием меняющего направление электрического поля, а также возникновение переменного тока ионов под действием электромагнитного поля.

Глубина проникновения микроволн составляет 3 – 5 см, а дециметровых волн – глубже 10 см.

Контрольные вопросы к лекции №10:

1. Чего пытались достичь физики, исследовавшие связь электрического и магнитного полей? В чем заключается догадка Фарадея?

2. Сформулируйте закон электромагнитной индукции.

3. Вычислите электродвижущую силу, которая возникает в проводнике длиной L, движущемся в магнитном поле B со скоростью V.

4. Расскажите о принципе действия трансформатора.

5. Напишите уравнение трансформатора и объясните значение параметров в нем.

6. Какую размерность имеют индукция магнитного поля, поток индукции, индуктивность?

7. Выведите частоту колебаний заряда в LC-контуре?

8. Запишите уравнение колебания заряда в RLC- контуре. Какой будет частота собственных колебаний в этом случае?

9. Какую величину называют индуктивностью? Что такое самоиндукция?

10. Что такое переменный ток? Приведите примеры.

11. В чем физический смысл индуктивного и емкостного сопротивлений? В чем различие реактивного и активного сопротивлений цепи?

12. Выведите формулу для энергии магнитного поля.

13. Чем различаются свободные, вынужденные и автоколебания?

14. Запишите уравнения Максвелла в интегральной форме и объясните смысл уравнений.

15. Запишите уравнения Максвелла в дифференциальной форме и объясните смысл уравнений.

16. Напишите формулы для энергии электромагнитной волны и вектора Умова - Пойтинга.

17. Опишите шкалу электромагнитных волн.

18. Перечислите известные Вам направления использования электромагнитных волн разных диапазонов в медицине.

[1]В 1831 году английский физик М.Фарадей (1791 – 1867) и американский ученый Д.Генри (1797 – 1878) независимо друг от друга открыли закон электромагнитной индукции. Причем Генри открыл его раньше, а Фарадей первым опубликовал свои исследования в 1831 году, проработав десять лет над этим открытием, совершившим переворот в электромашиностроении и способах получения электричества.

[2] В 1833 году английский физик У. Риччи создал прообраз электрического мотора с вращательным, а не возвратно-поступательным, как у парового, принципом. Наиболее важные работы по конструированию электродвигателей принадлежат русскому ученому Б. С. Якоби. В 1834 году он создал действующий электродвигатель. Якоби построил и описал электродвигатель, который действовал на принципе притяжения и отталкивания между электромагнитами. Мощность такого двигателя составляла всего 15 Вт. Впоследствии Якоби довел мощность электродвигателя до 550 Вт. 13 сентября 1838 года лодка с электрическим двигателем и 12 пассажирами поплыла по Неве против течения со скоростью 3 км/час.

[3] Первый трансформатор создал и запатентовал русский физик П.Н.Яблочков в 1876 году. Он представлял собой стержень, на который было намотано две обмотки провода. Он относился к модели трансформатора с разомкнутым сердечником. В 1896 году Н.Тесла создал резонансный трансформатор, позволяющий получать высокое напряжение с частотой переменного тока на первичной обмотке трансформатора.

[4] Д.Максвелл (1831 -1879) британский физик и математик, заложил основе современной электродинамики, предсказал электромагнитные волны, является одним из основателей кинетической теории света.

[5] Плотность потока энергии величина скалярная, поскольку представляет собой отношение энергии к объему, в котором она находится. Вектор Пойтинга означает, что энергия распространяется в том же направлении, что и волна.

[6] Уравнение (5.2.23) выводится в лекции№5.

[7] Г.Герц (1857 – 1894), немецкий физик в 1888 году экспериментально подтвердил предсказанные Максвеллом электромагнитные волны. Русский физик-электротехник А.С.Попов (1859-1906) в 1905 году изобрел радиоприемник электромагнитных волн. Им на заседании физического отделения русского физико-химического общества был сделан доклад в Санкт – Петербургском университете и впервые азбукой Морзе передана радиограмма Генрих Герц.

Дата добавления: 2014-01-07