Электрический потенциал

Еще одной важной характеристикой электростатики является потенциал электрического поля. Потенциал электрического поля введем как потенциальную энергию единичного заряда в некоторой точке:

. (8.6.1)

По смыслу потенциал – это отношение работы по перемещению единичного заряда из бесконечности в данную точку пространства к величине этого заряда.

Напряженность является силовой характеристикой электрического поля, а потенциал – энергетической, поскольку они определяются соответственно через силу (8.3.2) и энергию (8.6.1).

Как и в случае с потенциальной энергией мы можем измерить только разность потенциалов между двумя точками. В системе СИ единицей измерения потенциала является вольт [В]: 1В = 1Дж/1Кл. Удобно также пользоваться энергетической единицей электрон-вольт (эВ):

1эВ = (1.6·10^-19Кл)(1.0 В) = 1.6 · 10^-19Дж,

Оно широко используется в атомной, ядерной физике и физике элементарных частиц.

Работа электрического поля по перемещению положительного заряда из некоторой точки в точку в однородном электрическом поле составляет:

, (8.6.2)

где - разность потенциалов между точками и .

С другой стороны работа электрического поля равна: , а сила кулоновского взаимодействия . Откуда:

, (8.6.3)

где d – расстояние между выбранными точками. В результате получаем связь разности потенциалов и напряженности однородного электрического поля :

. (8.6.4)

В случае неоднородного электрического поля выражение (8.6.4) записывается в интегральной форме:

, (8.6.5)

где - бесконечно малое перемещение, а интеграл берется вдоль произвольной траектории между точками а и b.

Дифференцируя выражение (8.6.5), определим электрическое поле через потенциал:

(8.6.6)

Используя последнее выражение можно найти потенциал уединенного точечного заряда. Электрическое поле в этом случае имеет вид:

,

а разность потенциалов:

.

Тогда при условии, что потенциал на бесконечности равен нулю ,, получаем потенциал уединенного заряда:

. (8.6.7)

Графически электрический потенциал, например, диполя представляют (рис. 8.11) в виде эквипотенциальных поверхностей (поверхностей, имеющих в каждой точке одинаковый потенциал ) или параллельных линий в случае однородного электрического поля (рис.8.11б). На рис.8.11а эквипотенциальные поверхности обозначены пунктирными линиями, а сплошными силовые линии электрического поля. Потенциал в каждой точке такой поверхности один и тот же, а сама эквипотенциальная поверхность, как видно на рис.8.11а, в точках пересечения сплошных и пунктирных линий, перпендикулярна силовым линиям электрического поля. Если бы угол при пересечении этих линий отличался от 90⁰, то существовала бы составляющая электрического поля параллельно эквипотенциальной поверхности . Это привело к перераспределению заряда до тех пор, пока эта составляющая не стала бы вновь равной нулю .

а) б)

Рис. 8.11. Графическое представление электрического потенциала. Эквипотенциальные поверхности представлены пунктирными линиями для двух зарядов (а) и однородного электрического поля.

Рассмотрим несколько примеров нахождения потенциала заряженных объектов.

Пример 8.5. Определить потенциал, создаваемый электрическим диполем с зарядами соответственно Q и –Q в некоторой точке P (рис. 8.12).

Применяя принцип суперпозиции, определим потенциал в точке Р от каждого из зарядов. Считаем расстояние до точки Р заряда Q составляет r, а заряда –Q . Суммарный потенциал в точке обоих зарядов составляет:

Видно, что суммарный потенциал будет меньше потенциала каждого из зарядов в отдельности. А на перпендикуляре, проходящем по средине между зарядами, когда , потенциал всегда равен нулю.

Пример 8.6. Вычислить потенциал тонкого равномерно заряженного кольца радиусом R на оси кольца (рис. 8.13).

Учитывая, что потенциал от элемента dq заряда кольца в точке Р на его оси на расстоянии х от кольца составляет:

Для вычисления потенциала всего кольца в точке Р проинтегрируем элемент заряда кольца dq вдоль окружности. Получаем значение потенциала на оси кольца:

. (8.6.8)

Видно из (8.6.8), когда , кольцо можно считать точечным зарядом.

Понятие диполя и потенциала необходимы для осознания того, что такое кардиограмма и какие характеристики измеряют врачи.

Пример 8.7. Электрокардиограмма. В.Эйнтховен предложил теорию электрокардиограммы. В ее основе лежит представление о том, что сердце представляет собой диполь, который характеризуется электрическим дипольным моментом , описываемый формулой (8.4.1). На рис.8.14а представлена модель сердца в виде диполя. Видно, что пунктирные линии на рис.8.11 и рис.8.14а несут одинаковый физический смысл – представляют собой поверхности равного потенциала. Диполь поворачивается, меняет свое положение. Так как электрический дипольный момент сердца меняется со временем, то могут быть получены временные зависимости напряжения, которые и называют электрокардиограммами. На кардиографе снимаются напряжения эквипотенциальных поверхностей вокруг сердца, которые меняются в процессе работы сердца. Стенки и перегородки сердечных желудочков, как и другие части, колеблются с разной амплитудой и частотой. Поэтому суммарное напряжение на эквипотенциальных поверхностях представляет сложную функцию. Затем устанавливается связь между значениями этих напряжений и функциональным состоянием различных частей сердца.

На рис. 8.14б приведены виды кардиограмм. Кардиограмма (1) здорового человека, записанная в области верхушки сердца; фонокардиограмма (2), электрокардиограмма (3) и сфигмограмма сонной артерии (4). Обозначения на кардиограмме: а — систола предсердий; b — закрытие митрального клапана; с — начало фазы изгнания; d — конец фазы изгнания; е — открытие атрио-вентрикулярных клапанов; f — волна притока (максимум быстрого наполнения желудочков).

а)

б)

Рис.8.14. Структура эквипотенциальных поверхностей электрокардиограммы (а),виды кардиограмм (б).

Дата добавления: 2014-01-07