Свойства двойного интеграла

16.1.3.1. Линейность. Если функции , интегрируемы по области , то их линейная комбинация тоже интегрируема по области , и .

Док-во. Для интегральных сумм справедливо равенство . Переходя к пределу при и пользуясь свойствами пределов, рассмотренными в разделе 4.4.6. Арифметические действия с пределами (конкретно, свойствами 4.4.10.1 и 4.4.10.2), получим требуемое равенство.

16.1.3.2. Аддитивность. Если область является объединением двух областей и , не имеющих общих внутренних точек, то .

Док-во. Пусть область разбита на подобласти , область разбита на подобласти . Тогда объединение этих разбиений даст разбиение области : на подобластей. Интегральная сумма по области равна сумме сумм по областям и : . Как и в предыдущем случае, переходя к пределу при , получим требуемое равенство.

Дата добавления: 2014-01-07