Формула Грина

.

Пример 2. Найти по кривой .

Решение: Пользуясь свойством аддитивности, разобьем интеграл на сумму двух:

Пример 3. Найти , где C - окружность, проходимая в отрицательном направлении (по часовой стрелке).

Решение: Параметризуем окружность x =2cos t, y =2sin t, 0 £ t £ 2p. Движению по часовой стрелке соответствует уменьшение параметра t, поэтому интегрируем от до 0:

Пример 4. Вычислить по каждому из путей, соединяющих точки О (0,0) и А (2,4), и изображённых на рисунке справа:

1. Ломаная ОВА, состоящая из прямолинейных отрезков;

2. Ломаная ОСА;

3. Прямолинейный отрезок ОА;

4-5. Параболы ODA и OEA, симметричные относительно координатных осей.

Решение. 1. (по свойству аддитивности). На ОВ в качестве параметра естественно выбрать переменную х, при этом , поэтому . На ВА , поэтому . Окончательно, .

2. .

. . Окончательно, .

3. На прямолинейном отрезке ОА , поэтому .

4. Уравнение параболы ОЕА имеет вид , значение коэффициента k найдём, подставляя в это уравнение координаты точки А: , поэтому .

5. Совершенно также убеждаемся, что интеграл по параболе ODA имеет то же значение.

Закономерен вопрос: для любого ли интеграла и любых начальной и конечной точек значение интеграла не зависит от формы пути, соединяющего эти точки? Убедимся в том, что это не так, на примере интеграла : ; .

Следующие разделы будут посвящены ответу на поставленный вопрос: при каких условиях криволинейный интеграл второго рода не зависит от формы пути, соединяющего начальную и конечную точки, и определяется только этими точками? В трёхмерном случае этот вопрос будет изучаться в теории поля.

16.3.3.4.1. Связность, односвязность, многосвязность. Напомним определения ряда понятий из теории функций нескольких переменных, которыми нам придется пользоваться.

Множество точек (на прямой, на плоскости, в пространстве) называется связным, если любые две точки этого множества можно соединить непрерывной кривой, целиком принадлежащей этому множеству.

Область (на плоскости, в пространстве) называется односвязной, если любой замкнутый контур, лежащий в этой области, можно непрерывной деформацией стянуть в точку, не выходя при этом за пределы области.

Примеры: односвязны шар, параллелепипед и вообще любой выпуклый объём в пространстве. Односвязен шаровой слой, заключённый между двумя сферами. Пример неодносвязной области: тор. Все пространство односвязно и остаётся односвязным, если из него удалить точку или отрезок. Если же удалить из пространства прямую, оно потеряет свойство односвязности: окружность, охватывающую эту прямую, не удастся стянуть в точку, не пересекая прямую.

Кусочно-гладкая граница ограниченной односвязной области всегда связна, следовательно, является контуром.

16.3.3.4.2. Теорема Грина для односвязной области. Пусть на плоскости Oxy задана односвязная область D, ограниченная кусочно-гладким контуром C. На множестве определены непрерывные функции и , имеющие непрерывные частные производные. Тогда , при этом контур С обходится так, что область D остаётся слева.

Док-во. 1. Пусть D - простая область. Докажем сначала, что . Опишем D неравенствами Тогда . Если контур включает вертикальные участки, такие как EF, то на этих участках dx = 0, поэтому , и , что и требовалось доказать.

Равенство доказывается точно также: . Суммируя равенства и , получим одну из важнейших формул анализа -формулу Грина

2. Пусть теперь D - произвольная, не обязательно простая, область. Разобьём её на простые части. Пусть это разбиение производится отрезком АВ, и пусть подобласти D ₁ и D ₂ - результат разбиения. Для этих подобластей формула Грина доказана:

и . По свойству аддитивности , . Суммируя эти выражения, убеждаемся, что криволинейные интегралы по отрезкам АВ и ВА взаимно уничтожаются, а сумма интегралов по кривым ВFA и AEB даёт интеграл по контуру С, т.е. формула Грина верна и для области, не являющейся простой. Доказательство остаётся справедливым и в случае, когда разбиение производится добавлением большего числа, чем одна, кривых.

16.3.3.4.3. Теорема Грина для многосвязной области. Пусть теперь D многосвязная на плоскости Oxy. Граница многосвязной области состоит из нескольких связных частей, не имеющих общих точек. Рассмотрим случай, когда граница области D (на рисунке область заштрихована) состоит из внешнего контура С и внутренних контуров С ₁ и С ₂. Соединим контур С разрезом FM с контуром С ₁, разрезом BG - с контуром С ₂. (Под словами "соединим разрезом BG " подразумевается то, что мы удалим из D отрезок BG). Область с границей односвязна, поэтому для неё справедлива формула Грина:

. Двойные интегралы по областям D и равны (площадь разрезов равна нулю); в криволинейный интеграл по кусочно-гладкой кривой интегралы по разрезам входят с противоположными знаками (и , например) и поэтому взаимно уничтожаются, поэтому оказывается справедлива теорема Грина для многосвязной области: пусть на плоскости Oxy дана многосвязная область D с границей . На множестве определены непрерывные функции и , имеющие непрерывные частные производные. Тогда , при этом каждая часть полной границы обходится так, что область D остаётся слева.

16.3.3.5. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. В этом разделе будет дан ответ на вопрос: при каких условиях криволинейный интеграл второго рода не зависит от формы пути, соединяющего точки А и В, а определяется только этими точками? Будем предполагать, что в некоторой односвязной области на плоскости заданы непрерывно дифференцируемые функции и , и все рассматриваемые точки, контуры и области принадлежат этой области.

16.3.3.5.1. Теорема 1. Для того, чтобы интеграл не зависел от формы пути, соединяющего точки А и В, необходимо и достаточно, чтобы интеграл по любому замкнутому контуру был равен нулю.

Доказательство. Необходимость. Пусть - произвольный замкнутый контур, лежащий в области , А и В - произвольные точки этого контура. Так как, по условию, , то .

Достаточность. Пусть для любого контура выполняется . Пусть , - произвольные точки, и - две различных кривых, соединяющих эти точки. - замкнутый контур, поэтому , что и требовалось доказать.

16.3.3.5.2. Теорема 2. Для того, чтобы интеграл по любому контуру С был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы функции и их частные производные были непрерывны, и выполнялось условие .

Доказательство. Необходимость. От противного. Пусть для выполняется , но существует точка такая, что . Предположим для определённости, что . Так как разность непрерывна, существует окрестность точки такая, что . Выберем контур С, целиком лежащий в этой окрестности. Если D - область ограниченная этим контуром, то, по формуле Грина, . Но, по теореме об интегрировании неравенств, (- площадь области D), т.е. , что противоречит условиям теоремы. Следовательно, в любой точке выполняется условие .

Достаточность. Если в любой точке выполняется условие , то для любого контура С (D - область ограниченная контуром С).

Таким образом, для того, чтобы криволинейный интеграл не зависел от формы пути, соединяющего начальную и конечную точки (или, что то же самое, интеграл по любому замкнутому контуру был равен нулю), требуется выполнение двух условий:

1. Контур и ограниченная им область лежат в некоторой односвязной области, в которой

2. и их частные производные непрерывны, и.

Отметим существенность первого условия. Так, для интеграла второе условие выполняется: , в то же время интеграл по окружности радиуса R не равен нулю: . Причина - функции Р и Q непрерывны всюду, кроме начала координат; удаление точки из плоскости лишает её свойства односвязности.

Дата добавления: 2014-01-07