Метод координат

Смешанным (векторно-скалярным) произведением трех векторов

С F

Свойства векторного произведения:

4.2.4.7.

4.2.4.8.

4.2.4.9.

4.2.4.10.

4.2.4.11.

Условие коллинеарности векторов:

.

4.2.4.12.

будем называть число .

B

H

A

C

4.2.4.13. .

4.2.4.14. .

Условие компланарности векторов:

.

Метод координат - это способ, с помощью которого осуществляется соответствие между точками (геометрическими элементами математики) и вещественными числами (аналитическими элементами). Для осуществления этого соответствия обычно используют числовую ось.

5.1. Понятие числовой оси

Числовой осью (L) или числовой прямой, будем называть прямую линию, удовлетворяющую следующим условиям:

- на прямой L фиксируем , называем ее началом координат и ставим ей в соответствие число 0;

- точка О делит прямую на два направления (луча), одно из которых помечаем стрелкой и считаем положительным, а другое - отрицательным;

- на положительном направлении OL построим , единичной длины и назовем его орт числовой оси OL;

- каждой точке М, лежащей на данной прямой ставим в соответствие вещественное число w, которое определяется следующим образом:

Число t назовем координатой точки М и обозначим: .

N(-2) O M₀ M(+3)

L

-2 -1 0 1 2 3

Из определения числовой оси следует, что между точками на числовой оси и вещественными числами установлено взаимно-однозначное соответствие, а именно:

любой точке на оси соответствует единственное вещественное число и любому вещественному числу соответствует единственная точка на числовой оси.

Точку на числовой оси будем считать заданной, если известна ее координата.

Чтобы найти точку на числовой оси достаточно найти ее координату.

5.2. Метод координат на числовой прямой

5.2.1. Расстояние между двумя точками

Дано: OL - числовая ось

М₁(х₁), М₂(х₂) OL

Найти: d= | M₁M₂ |

Ответ:

5.2.2. Деление отрезка в данном отношении

Дано: OL - числовая ось

М₁(х₁), М₂(х₂) OL

М OL

|M₁M|: |MM₂| =

Найти: М(х)

Ответ:

5.3. Метод координат на плоскости

Метод координат на плоскости устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и упорядоченными парами вещественных чисел (координатами точки).

5.3.1. Прямоугольная декартова система координат

Прямоугольная декартова система координат на плоскости представляет собой две взаимно перпендикулярные числовые прямые с общим началом координат.

Y – ось ординат

y M₂ M

M₁

O x X - ось абсцисс

XOY -координатная плоскость,

М₁(х,0) - пр _охМ; х - абсцисса точки М;

М₂(0,y) - пр _оуМ; у - ордината точки М.

Точка на плоскости считается заданной, если известны ее координаты.

5.3.1.2. Расстояние между двумя точками

Дано: ХOУ - координатная плоскость

М₁(х₁, у₁), М₂(х₂, у₂)ХOУ

Найти: d= | M₁M₂ |

Ответ:

5.3.1.3. Деление отрезка в данном отношении

Дано: ХOУ - координатная плоскость

М₁(х₁, у₁), М₂(х₂, у₂) ХOУ

М М₁М₂, |M₁M|: |MM₂| =

Найти: М(х, у)

Ответ:

5.3.2. Косоугольная декартова система координат

Y

y M(x, y)

О x X

XOY - косоугольная декартова система координат, .

5.3.3. Полярная система координат

Полярная система координат на плоскости представляет собой положительное направление числовой прямой, которое называют полярной осью,

а начало координат - полюсом

M(r, )

r

полюс - О Р - полярная ось

- радиус-вектор точки М,

- полярный радиус точки М,

- полярный угол точки М.

Каждой точке плоскости в этой системе координат соответствует упорядоченная пара чисел, из которых первое полярный радиус (r), а второе полярный угол ().

Полярный угол всегда отсчитывается по направлению от полярной оси к радиусу-вектору данной точки. Удобно полагать, что .

5.3.4. Связь между полярными и прямоугольными декартовыми координатами

Дано: XOY - прямоугольная декартова система координат

ОР || ОХ

ОР - полярная ось

М(x, y) XOY, М(r, ) OP

Найти: зависимости между (x, y) и (r, )

Ответ:

причем угол  выбирается в соответствии со знаками х и у.

5.3.5. Параллельный перенос координатных осей

Дано: XOY - прямоугольная декартова система координат

Q(x₀, y₀) XOY

QX_н || OX, QY_н ||OY

X_н QY_н - прямоугольная декартова система координат

М(x, y)XOY, М(x_н, y_н)X_нQY_н

Найти: зависимости между (x, y) и (x_н, y_н)

Ответ:

5.3.6. Поворот координатных осей

Дано: XOY - прямоугольная декартова система координат

X_н ОY_н - прямоугольная декартова система координат

=(OХ_н ОУ_н)

М(x, y) XOY, М(x_н, y_н) X_нQY_н

Найти: зависимости между (x, y) и (x_н, y_н)

Ответ:

5.4. Прямоугольная декартова система координат в пространстве

Z

z M₃

Дата добавления: 2014-01-07