Векторы в геометрической форме

4.1. Основные понятия

Вектором будем называть упорядоченную пару точек, первую из которых назовем началом вектора, последнюю - концом, а расстояние между ними - длиной вектора.

В

А

Обозначения:

-вектор,

- длина вектора.

Нулевым вектором будем называть такой вектор, у которого начало и конец совпадают. Следовательно, .

Векторы могут быть закрепленными, скользящими и свободными.

Если векторы закрепленные, то они считаются равными только в том случае, когда совпадают их начала и совпадают концы.

Если векторы скользящие, то их можно перемещать по прямой, на которой они расположены. Такие два вектора считаются равными только в том случае, если после приведения их к общему началу путем сдвига по прямой, их содержащей, окажется, что и концы этих векторов тоже совпали.

Свободными векторами будем называть такие векторы, которые путем параллельного переноса можно произвольно перемещать в пространстве. Следовательно, можно считать, что начало свободного вектора может быть в любой точке пространства.

В дальнейшем (если не оговорено особо) будем рассматривать только свободные векторы.

Два вектора будем называть равными , если после параллельного переноса в общее начало окажется, что их концы тоже совпадают.

Из определения следует: , однако, обратное утверждение не всегда справедливо.

Углом между двумя векторами ( ) будем называть наименьший угол, полученный после их приведения к общему началу, причем, если направление от первого вектора ко второму идет против движения часовой стрелки, то угол будем считать положительным, а если по движению часовой стрелки, то - отрицательным.

Векторы будем называть ортогональными , если угол между ними .

.

Векторы будем называть сонаправленными (одинаково направленными) , если угол между ними .

.

Векторы будем называть противоположно направленными , если угол между ними .

.

Векторы будем называть коллинеарными , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Векторы будем называть компланарными, если после приведения к общему началу окажется, что они лежат в одной плоскости.

Из определения следует, что два вектора всегда компланарны, а три и более - не обязательно.

4.2. Действия с векторами в геометрической форме

4.2.1. Сложение

Метод параллелограмма

B C

A D

Метод цепочки R

N

P

M S

4.2.2. Вычитание Y

X Z

4.2.3. Умножение на число (скаляр)

Произведением вектора на скаляр будем называть такой вектор,

который обладает следующими свойствами:

- длина нового вектора равна длине данного вектора, умноженной на абсолютную

величину скаляра;

- направление вектора совпадает с направлением данного вектора , если число положительно или имеет противоположное ему направление, еслиотрицательно.

Из определения следует: .

Противоположными будем называть векторы, которые равны по длине и противоположны по направлению.

Обозначение: - противоположные векторы.

.

Условие коллинеарности векторов: .

4.2.4. Умножение векторов

Существует два способа умножения вектора на вектор:

- скалярное, когда при умножении двух векторов в результате получается число (скаляр);

- векторное, когда при умножении двух векторов в результате получается новый вектор.

Скалярным произведением двух векторов ( ) будем называть число, равное произведению их длин на косинус угла между ними.

.

Из определения следуют свойства.

4.2.4.1. .

4.2.4.2. .

.

4.2.4.3. .

4.2.4.4. .

4.2.4.5. .

Выражение называют скалярным квадратом вектора и используют для вычисления его длины: .

4.2.4.6.

Условие ортогональности векторов:

.

Векторным произведением двух векторов () будем называть

третий вектор (), обладающий следующими свойствами:

- длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на

данных векторах как на сторонах;

- прямая, соединяющая концы вектора , перпендикулярна плоскости этого

параллелограмма;

- направление вектора определяется правилом «правой руки» («буравчика»).

B

D

А

- S_ E

Дата добавления: 2014-01-07