Арифметические и логические основы цифровой техники

Содержание лекции:

- введение основных понятий и определений цифровой техники, арифметика и кодирование двоичных чисел, основы алгебры логики.

Цели лекции:

- ознакомиться с основными понятиями и определениями цифровой техники, освоить правила перевода чисел из одной системы счисления в другую и двоичной арифметики, способы кодирования двоичных чисел, а также изучить аксиомы, основные законы и правила алгебры логики.

Информация, воплощенная в некоторой материальной форме, называется сообщением или сигналом. Сигналы могут носить аналоговый (непрерывный), либо дискретный (цифровой) характер, когда изменяемая величина (функция) может иметь место только при конкретных значениях времени. Цифровые сигналы состоят только из последовательности двух цифр 1 и 0, которые называют логическими, поскольку существует раздел математики, называемый алгеброй логики, задающей правила работы с такими двоичными сигналами. Методы обработки цифровых сигналов и соответствующие устройства и системы называются цифровыми или логическими. Существуют две формы представления цифровых сигналов: потенциальная и импульсная. В первом случае наибольшей физической величине, например, напряжению соответствует логическая 1, наименьшему – логический 0 (положительная логика), если все наоборот, то имеет место отрицательная логика. Во втором случае появление импульса в определенный момент времени соответствует логической 1, его отсутствие – логическому 0. Наибольшее распространение получили цифровые устройства, реализованные в виде цифровых микросхем, использующих потенциальную форму представления цифровых сигналов, в частности, положительную логику.

Цифровая техника использует двоичную систему счисления, так как обрабатывает числа, представленные только в двоичной форме. Однако, для сокращенной формы записи двоичных чисел в микропроцессорной технике применяют восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

Система счисления – это способ записи чисел цифровыми символами. Системы счисления делят на непозиционные и позиционные. В непозиционной системе счисления значение символа не зависит от его положения в числе, а в позиционных – зависит. Например, в десятичном числе 222 первая цифра слева означает сотни, вторая – десятки, третья – единицы.

Любое число в любой системе счисления можно записать в виде следующего полинома

где q – основание системы счисления; - коэффициенты при степенях основания (), - веса разрядов числа.

В двоичной системе счисления q = 2 и используются два коэффициента (1 и 0). Двоичное число 101101,101 можно представить в виде следующего полинома .

Двоичная арифметика очень проста. Основной арифметической операцией, которая используется в цифровых устройствах, является сложение, так как вычитание легко свести к сложению путем изменения на обратный знак вычитаемого, а умножение и деление - к операциям сложения и некоторых логических действий. Для арифметического сложения или вычитания двоичных чисел необходимо помнить, что две логические 1 не могут находиться в одном разряде, то есть они переходят в соседний старший разряд в качестве одной логической 1.

В восьмеричной системе счисления счисления q = 8 и используются восемь коэффициентов (0,1,2,3,4,5,6,7). Восьмеричное число можно представить в виде следующего полинома .

В шестнадцатеричной системе счисления q = 16 и используются шестнадцать коэффициентов (цифры от 0 до 9 и буквы начала латинского алфавита A,B,C,D,E,F). Шестнадцатеричное число можно представить полиномом .

Как видно из приведенных примеров сложение членов полинома, отражающего ту или иную систему счисления, дает десятичный эквивалент.

Перевод дробного числа из десятичной в другую систему счисления осуществляется в два этапа:1) переводится целая часть числа делением ее на основание системы счисления до остатка, меньшего этого основания, при этом полученное число записывается справа налево; 2) переводится дробная часть числа умножением ее на основание системы счисления до получения либо нулевого остатка после запятой, либо до заданной степени точности, при этом полученное число записывается слева от запятой сверху вниз. На рисунке 1 приведен пример перевода десятичного числа 45,75 в двоичное.

1) 45 2 2) 0,75

1 22 2 2

0 11 2 1,50

2

1 5 2 1,00

1 2 2

Дата добавления: 2014-01-07