Tаблица 2. Расчетные выражения для составляющих формул (28,29)

Форма тела	Граничные условия	mn	An	Un	Un	в	c	c^-	d
П   Л	I рода: tR=const	(2n-1)		cos (mn r)
А   С	II рода: q = l = const	np	-	- // -					-
Т   И   Н   А	III рода: - = a (tR - tcp.) a = const tcp. = const	Корни уравнения ctg		- // -
Ц   И	I рода	Корни уравнения J0(m)=0		- // -
Л	II рода	Корни уравнения J1 (µ)=0		- // -					-
И   Н   Д   Р	III рода	Корни уравнения		r¹0: J0(µn r); r=0: J0(0)= 1
С   Ф	I рода	np		r¹0: sinmnr r r=0: mn
Е   Р	II рода	Корни уравнения tg m= m		- // -					-
А	III рода	Корни tgm=		- // -

J_0, J₁ - функции Бесселя первого рода нулевого и первого порядка.

*). Численный эксперимент показал, что для абсолютной сходимости ряда типа требуется»6×10³ членов ряда. (В решениях каждый член ряда умножается на exp (-m_n² F₀) и столько членов ряда не надо).

Для расчета температурных полей, среднеинтегральных температур в пластине, цилиндре, шаре при граничных условиях ɪ, ɪɪ,ɪɪɪ рода есть программа HEAT2 для персонального компьютера на Фортране [6]. Вычисления с целью обобщения проводятся сначала в безразмерных значениях координат и времени (r- F₀), затем в размерных.

При охлаждении (нагревании) тел конечных размеров: параллелепипедов(кубов), цилиндров конечных размеров и прямоугольных стержней, можно рассматривать их как тела, образованные пересечением взаимно перпендикулярных соответственно трех пластин, цилиндра и пластины и двух пластин неограниченных размеров, но конечной толщины. Решения таких задач представляются в форме произведения безразмерных температур для тел неограниченных размеров, в результате пересечения которых образовалось рассматриваемое тело. Так, для ограниченного цилиндра высотой 2L и радиуса R распределение температур q(z,r,t) получается перемножением решений для неограниченных пластины толщиной 2L и цилиндра радиуса R

q =1- [ 1- [q_пл(z,t)] × [1-q_ц(r,t)]. … (30)

Если граничные условия переменны во времени (переменная температура поверхности, переменный тепловой поток, переменная температура среды, например, суточные колебания температуры окружающей среды), то решения находятся с использованием интегрального уравнения типа свертки (теорема Дюамеля) [1,2]

q=q^ɪ·F_нач. + q^ɪ * F^r, … (31)

где

q^ɪ- решение при единичном воздействии Fº1;

q - решение при воздействии F=F(t);

r - символ производной по времени;

_* - символ свертки: j _* y =j(t)_*y(t)= j(t-w)y(w)dw=y_*j.

При аналитически простых воздействиях решение (31) может быть найдено аналитическим путем, при сложных воздействиях - численным интегрированием, например по программе TEZIS (температурные задачи, интегралы свертки) [4,5]. Эта программа решает и обратные задачи теплопроводности (восстановление F или q^ɪ). Эти задачи труднорешаемы, но решаемы с применением специальных алгоритмов.

Для прямых задач при численном интегрировании по формуле прямоугольников на равномерной временной сетке (31) получает вид

q(t_i) = q^ɪ(t_i-t_j) × F(t_j+1-t_j) … (32)

(i, j - 0,1,2,3, …).

Дата добавления: 2014-01-07