Электрическое поле

Пример. В вершинах квадрата со стороной а находятся одинаковые одноименные заряды, равные q. Какой заряд Q необходимо поместить в центре квадрата, чтобы система находилась в равновесии?

Решение. Рассмотрим силы, действующие на любой из зарядов, например, 4-й. Со стороны зарядов 1, 2, 3 на него действуют силы отталкивания. Величина равнодействующей этих сил (в проекции на диагональное направление) равна

.

Тогда, чтобы заряд находился в равновесии, он должен притягиваться к противоположному по знаку заряду с силой

. Отсюда.§

Сила Кулона является консервативной (для данных двух зарядов она зависит только от расстояния между ними), следовательно, для нее можно ввести потенциальную энергию W_ПОТ.

Утверждение. Энергия взаимодействия двух точечных неподвижных зарядов определяется соотношением

.

(Обратите внимание на показатель степени в знаменателе и отсутствие модуля зарядов.).

q₁

q₂

X

Y

Z

R

F ₁₂

e_R

Доказательство. Консервативная сила и соответствующая ей потенциальная энергия должны быть связаны соотношением

Рассмотрим систему отсчёта, в которой один из зарядов (q₁) покоится в начале координат, а второй (q₂) находится в точке, задаваемой радиус-вектором. Пусть заряды будут одноименными. Тогда вектор силы Кулона, действующий на второй заряд со стороны первого

,

где - единичный вектор направления для радиус-вектора.

Найдем выражение для градиента от потенциальной энергии

.

Так как С =const, а, то, например,

.

Аналогично,.

Поэтому

.§

Пример. Какую работу необходимо совершить, чтобы перестроить систему четырех точечных зарядов, расположенных в вершинах квадрата со стороной а? Заряд q считать известным (см. рис.).

+q

+q

+q

+q

-q

-q

-q

-q

Решение. Работа сил поля равна изменению потенциальной энергии системы зарядов:

А_ПОЛЯ = - W_ПОТ = W_{ПОТ_НАЧ} - W_{ПОТ_КОН}.

Начальная энергия системы равна сумме энергий ПОПАРНЫХ взаимодействия между ВСЕМИ зарядами: 1 и 2:, 1 и 3:, 1 и 4:, 2 и 3:, 2 и 4:, 3 и 4:.

В итоге, начальная энергия системы зарядов равна:,

.

Аналогично подсчитываем конечную энергию системы зарядов:

.

Поэтому искомая работа равна:

А_ПОЛЯ = W_{ПОТ_НАЧ} - W_{ПОТ_КОН}

Работа сил поля равна A_ПОЛЯ= - A_ВНЕШ, поэтому.§

Замечание. Сравним по интенсивности электрическое и гравитационное взаимодействие двух точечных одинаковых заряженных элементарных частиц.

.

Например, для электрона Кл/кг, поэтому,

для протона Кл/кг, поэтому.

Т.е. электрическое взаимодействие намного интенсивнее, чем гравитационное. Однако при рассмотрении макросистем оказывается, что электрические заряды компенсируют друг друга и роль электрических сил становится незначительной. Поэтому в больших (космических) масштабах решающую роль играют гравитационные силы.

По современным представлениям электрические заряды взаимодействуют посредством некоторой материальной субстанции, которая называется электрическим полем и является одной из форм проявления электромагнитного поля.

Электрическое поле в данной точке пространства характеризуется потенциалом и напряженностью.

Дата добавления: 2014-01-06