Связь напряженности и потенциала

Так как энергия взаимодействия точечного заряда с электрическим полем и сила, действующая на этот заряд со стороны поля, связаны соотношением, то из определений получаем.

Таким образом, связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля дается выражением (в дифференциальной форме)

.

Следовательно, электростатическое поле является потенциальным полем.

Из свойств оператора следует, что вектор напряжённости электрического поля направлен в сторону наибольшего убывания потенциала, перпендикулярно эквипотенциальной поверхности.

Работа сил электрического поля

В то же время.

Сравниваем эти выражения и получаем

Если обозначить изменение потенциала как (НЕ ПУТАЙТЕ С ОПЕРАТОРОМ ЛАПЛАСА!), то получим связь напряженности и потенциала в интегральной форме

Из этого выражения следует теорема о циркуляции для электростатического поля.

Для любой замкнутой траектории (любой кривой линии) Г, находящейся в области пространства, где создано электростатическое поле, значение интеграла

вдоль этой замкнутой линии Г всегда равно нулю.

Действительно, в случае, когда точечный заряд перемещается вдоль какой-то замкнутой траектории Г, выполняется равенство, поэтому

.

Из теоремы Стокса следует дифференциальная форма теоремы о циркуляции:

т.к. электростатическое поле потенциальное, то его ротор равен нулевому вектору в каждой точке:

.

A

B

C

D

Пример. Можно ли создать неоднородное электростатическое поле, силовые линии которого параллельны друг другу?

В электростатическом поле для любого замкнутого контура Г выполняется равенство. Если возьмём в качестве контура Г прямоугольник ABCD, то интеграл можно разбить на 4 интеграла вдоль сторон этого прямоугольника:

.

Но на сторонах AB и CD векторы и перпендикулярны друг другу, т.е., поэтому и.

На стороне BC векторы и направлены одинаково, на стороне DA направлены противоположно, откуда

Вблизи стороны BC силовые линии расположены гуще, чем вблизи стороны DA, поэтому

, следовательно

.

То есть для такого поля не выполняется теорема о циркуляции.§

Из принципа суперпозиции следует

,

т.е..

Потенциал в данной точке поля, создаваемого системой зарядов равен алгебраической сумме потенциалов поля, создаваемых каждым из зарядов в отдельности.

Пример. Рассмотрим электрическое поле, создаваемое заряженным кольцом, радиус которого R. Найдем потенциал на оси кольца на расстоянии z от плоскости кольца.

Решение. Разобьем кольцо на большое количество N участков, опирающихся на центральный угол. (Длина одного участка.) Заряд одного участка, где Q – заряд кольца. Будем считать, что Q>0. Принимая малый участок кольца за точечный заряд можно найти потенциал поля на оси кольца, создаваемого одним участком:, где. Тогда, в соответствии с принципом суперпозиции, суммарный потенциал

.

Из этой формулы видно, что потенциал в центре кольца (z=0) равен.§

Дата добавления: 2014-01-06