Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции

Рассмотрим магнитное поле, создаваемое круговым контуром с постоянным током, на оси контура.

Рассмотрим магнитное поле, создаваемое длинным тонким прямым проводом, по которому течет постоянный ток силой I.

Найдем величину и направление вектора магнитной индукции в точке, находящейся на расстоянии R от провода. Применим принцип суперпозиции

,

где - вектор магнитной индукции, создаваемый линейным элементом тока.

dl

r

dB

a

R

+I

x

dx

Векторы в выбранной точке от всех элементов направлены одинаково (перпендикулярно плоскости, образованной векторами), поэтому можно перейти от векторной суммы к сумме величин:

, где.

Введём координату х, отсчитываемую от точки пересечения провода и перпендикуляра к проводу, восстановленного из точки наблюдения. Тогда,,, поэтому

.

Но (см. лекцию № 1).

Окончательно, величина индукции магнитного поля на расстоянии R от тонкого длинного прямого провода с постоянным током определяется соотношением:

.

Силовые линии магнитного поля, создаваемого током в бесконечно длинном прямом проводнике, представляют собой окружности, лежащие в плоскости, перпендикулярной проводу, и с центром на оси провода. Направление вектора определяется по правилу правого винта. (Или правой руки: если обхватить правой рукой провод так, чтобы большой палец был направлен по току, то остальные пальцы покажут направление «закрученности» В.)

dl ₁

dl ₂

r ₂

r ₁

dB ₂

dB ₁

dB ₁+ dB ₂

a

a

x

R

I

По контуру течёт ток силой I, радиус контура R. Найдём величину индукции магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии x от плоскости контура вдоль оси.

Любые два элемента и, расположенные симметрично относительно центра контура, создают в точке наблюдения два симметричных относительно оси вектора и. Сумма этих векторов лежит на оси контура. Поэтому при нахождении суперпозиции всех векторов надо учитывать только проекцию векторов на эту ось

.

Т.к. образующая конуса перпендикулярна касательной к основанию, то угол между векторами и - прямой, поэтому

.

Для всех элементов величины и одинаковые. Следовательно,

или

B

.

С учётом определения магнитного момента контура и величины площади круга можно записать эту формулу в виде

.

Замечание. Картина силовых линий магнитного поля кольца обладает осевой симметрией, поэтому вектор индукции в каждой точке плоскости кольца направлен перпендикулярно этой плоскости. Кроме того, в каждой точке поля вектор лежит в плоскости, проходящей через ось кольца (продольной плоскости).

Так как силовые линии магнитного поля замкнутые, то это поле является вихревым, т.е., поэтому циркуляция этого векторного поля вдоль любого замкнутого контура Г не равна нулю:

.

dl

n

I

B

Пример. Найдем циркуляцию вектора магнитной индукции поля, создаваемого прямым проводом с током. В качестве контура Г возьмём какую-нибудь силовую линию (представляющую собой, как нам уже известно, окружность с центром на оси провода и лежащую в плоскости, перпендикулярной к проводу). Пусть радиус этой линии равен R, тогда величина магнитной индукции на этой линии постоянна и равна. Выберем ориентацию на контуре Г так, чтобы векторы и были направлены одинаково. (В этом случае нормаль к площадке, ограниченной контуром, и направление тока совпадают.) Тогда

.

Выберем ориентацию на силовой линии так, чтобы векторы и были направлены противоположно, (при этом нормаль к площадке, ограниченной контуром, и направление тока тоже будут направлены противоположно). В этом случае

.§

Этот результат не является случайным, его можно обобщить в виде теоремы о циркуляции вектора индукции магнитного поля:

циркуляция вектора индукции магнитного поля по любому ориентированному замкнутому контуру пропорциональна алгебраической сумме токов, пронизывающих ориентированную площадку, ограниченную контуром. Ориентация контура и площадки согласованы правилом правого винта. Коэффициент пропорциональности – магнитная постоянная:

Сила тока берётся со знаком плюс, если угол между направлением тока и направлением нормали к площадке меньше 90 градусов, и минус если больше.

Если ввести векторное поле плотности тока так, чтобы, то, используя теорему Стокса

,

получаем дифференциальную форму записи теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции:

.

Замечание. Хоть магнитное поле и является вихревым, но отсюда не следует, что циркуляция вектора магнитной индукции всегда отлична от нуля. Например, если контур Г охватывает два одинаковых по силе тока, но пронизывающих площадку в разных направлениях, то для них

, но.

Идеальным соленоидом называется бесконечный тонкий проводник, намотанный на поверхность бесконечного кругового цилиндра так, что при этом круговые витки проводника перпендикулярны оси цилиндра.

Замечание. В таком соленоиде нет составляющей электрического тока, направленной вдоль оси цилиндра, а только круговые токи в каждом из поперечных сечений. Поэтому можно считать, что соленоид составлен из бесконечного числа одинаковых витков, по которым течет одинаковый по направлению и силе ток.

Плотностью намотки соленоида n называется величина равная отношению количества витков N на некотором участке соленоида к длине этого участка l:.

Найдем величину индукции магнитного поля в какой-нибудь точке А на оси соленоида. Пусть сила тока в соленоиде равна I. Радиус витков R. Плотность намотки n.

z

z

dz

A

z _A

z =0

Для нахождения индукции магнитного поля в этой точке, применим принцип суперпозиции для магнитного поля – вектор индукции равен векторной сумме магнитных индукций, создаваемых каждым из колец в отдельности:. Отметим, что все векторы в точке А направлены одинаково – в одну сторону вдоль оси соленоида. Поэтому от векторной суммы можно перейти к сумме длин векторов:.

Введём вдоль оси соленоида ось z. Выделим в соленоиде какое-либо сечение, координату которого примем за ноль (z =0). Пусть точка А имеет координату z _А. Небольшая часть соленоида, длина которой равна dz и которая находится в сечении с координатой z, содержит количество витков. Эта часть создаёт в точке А индукцию магнитного поля, величина которой

,

где расстояние от точки А до этого сечения равно.

Тогда или

Делаем замену: и получаем.

Поэтому величина магнитной индукции на оси соленоида равна. Как видно, она не зависит от радиуса соленоида R.

Обсудим расположение силовых линий магнитного поля соленоида (и внутри, и снаружи). Так как магнитное поле соленоида создаётся кольцами с током, то вектор индукции в каждой точке поля лежит в продольной плоскости соленоида (любой плоскости, проходящей через ось соленоида).

Докажем, что в произвольных точках A₁, A₂, A₃, находящихся на равном расстоянии от оси, вектор индукции одинаковый по величине и направлен под одинаковым углом к оси.

B (- I)

A₁

A₂

B (I)

B ¢(I)

I

- I

O₂

О₁O ₂

A₁

A₂

A₃

1) Пусть точки A₁ и A₂ находятся в одном поперечном сечении. Так как магнитное поле соленоида обладает осевой симметрией, то поворотом вокруг оси можно перенести точку A₁ в A₂ (и наоборот). Векторы, находящиеся в этих точках должны перейти друг в друга (т.к. они принадлежат одному векторному полю).

2) Пусть точки A₁ и A₃ находятся в одном продольном сечении. Так как магнитное поле соленоида обладает симметрией сдвига вдоль оси, то сдвигом можно перенести точку A₁ в A₃ (и наоборот). Векторы, находящиеся в этих точках должны перейти друг в друга (т.к. они принадлежат одному векторному полю).

Докажем теперь, что вектор индукции магнитного поля соленоида в каждой точке направлен параллельно оси соленоида. Для этого рассмотрим вектор в произвольной точке поля, считая, что он не направлен параллельно оси соленоида. Предположим, что при заданном направлении тока I он направлен как. Через рассматриваемую точку можно провести ось симметрии О₁О₂ поля соленоида и подвергнуть поле повороту на 180⁰ вокруг этой оси. При этом какие-то точки A₁ и A₂, расположенные симметрично относительно этой оси перейдут друг в друга, а вектор перейдет в симметричный вектор, а направление тока I в соленоиде поменяется на противоположное: на – I. Но противоположно направленный ток в соленоиде должен создать в рассматриваемой точке противоположно направленный вектор. Поэтому вектору должен соответствовать вектор, не являющийся ему симметричным. Это противоречие можно убрать только в том случае, когда вектор параллелен оси.

I,N

Г₁

Г₂

Следовательно, силовые линии магнитного поля внутри и снаружи параллельны оси соленоида, а величина индукции зависит только от расстояния до оси соленоида.

Рассмотрим циркуляцию индукции векторного поля по некоторому квадратному контуру Г₁, который расположен целиком внутри соленоида так, что одна его сторона лежит на оси. Пусть длина каждой из сторон контура равна L. Тогда

,

(вычеркнуты нулевые слагаемые). Но контур не охватывает никакие токи, поэтому, откуда. Т.к. величина L является произвольной (но L < R), то величина магнитной индукции на любом расстоянии от оси (внутри соленоида) равна величине магнитной индукции на его оси. Таким образом, величина магнитной индукции внутри идеального соленоида постоянная и равна

,

где I – сила тока, n – плотность намотки витков. Следовательно, магнитное поле внутри идеального соленоида является однородным.

Теперь рассмотрим циркуляцию по квадратному контуру Г₂, который расположен так, что одна его сторона лежит внутри соленоида параллельно оси, а противоположная - снаружи. Пусть длина каждой из сторон контура равна L. Этот контур охватывает витки, число которых равно N. По виткам текут одинаковые токи в одинаковом направлении, поэтому исходя из ориентации контура и направления токов, получаем

.

Но

При этом внутри соленоида. Получаем равенство, откуда для величины магнитной индукции снаружи соленоида. Плотность намотки витков, по определению, равна, поэтому. Снаружи идеального соленоида магнитное поле отсутствует.

Дата добавления: 2014-01-06