Сила Лоренца

У идеального соленоида магнитное поле сосредоточено только внутри соленоида.

R₁

R₂

Тороид – это тонкий проводник, плотно намотанный на поверхность тора (бублика).

Магнитное поле тороида обладает осевой симметрией, поэтому силовые линии являются концентрическими окружностями с центрами на оси тороида. Пусть число витков в тороиде равно N, сила тока в проводнике равна I. Рассмотрим циркуляцию вектора индукции вдоль контура Г радиуса r (), совпадающего с одной из силовых линий:. Вдоль контура Г величина вектора магнитной индукции постоянная, поэтому, откуда внутри тороида. Предположим, что диаметр сечения тороидальной части много меньше внутреннего радиуса. Если ввести плотность намотки на внутреннем радиусе, то можно записать, где. Так как, то можно приближенно считать индукцию постоянной внутри тороида.

Лекция 8. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях.

Сила Лоренца. Движение заряженной частицы в электрических и магнитных полях. Ускорение заряженных частиц. Эффект Холла. Преобразования Лоренца для электрического и магнитного полей.

Опыт показывает, что на заряженную частицу, которая движется в магнитном поле, действует сила, которая называется магнитной силой Лоренца. Если скорость частицы, заряд частицы q, индукция магнитного поля, то вектор магнитной силы Лоренца определяется соотношением

q  

B

v

F _{М_Л}

a

.

Векторы образуют правую тройку векторов.

Величина силы

,

здесь a - угол между векторами и.

Замечание. Напомним практическое правило: направление вектора силы, действующей на положительный заряд q >0, определяется правилом левой руки: вектор силы перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и, при этом, если вектор индукции входит в ладонь левой руки, пальцы (собранные вместе) направлены вдоль вектора скорости, то отогнутый большой палец укажет направление силы, действующей на положительный заряд (для отрицательного заряда – правая рука).

Так как вектор магнитной силы Лоренца перпендикулярен скорости, то её мощность и работа равны нулю. Поэтому кинетическая энергия (и величина скорости) заряженной частицы, движущейся только в магнитном, поле остается постоянной.

Пример. В однородное магнитное поле с индукцией влетает со скоростью частица массой m и зарядом q. Угол между вектором скорости и магнитной индукцией равен a. Как будет двигаться частица в магнитном поле?

Решение. Разложим вектор скорости частицы на две составляющих, где - вектор, перпендикулярный, а - вектор, параллельный. Тогда,. Перейдем в систему отсчета, движущуюся с постоянной скоростью. Тогда в этой системе отсчета частица движется только со скоростью, перпендикулярной.

Вектор магнитной силы Лоренца направлен перпендикулярно скорости частицы, поэтому она создает нормальное ускорение

,

S

B

следовательно, траекторией является окружность, вектор ускорения направлен к центру этой окружности. Найдем радиус окружности:, отсюда, где q / m – удельный заряд частицы. Период оборота частицы:.

Оказывается период оборота не зависит от скорости частицы!

Теперь вернемся в начальную систему отсчета, где частица также движется вдоль линии поля со скоростью. В этой системе отсчета траектория частицы является винтовой линией радиуса и шагом.§

Магнитная сила Лоренца зависит от системы отсчёта. Например, в сопутствующей системе отсчёта, где частица покоится, магнитная сила Лоренца равна нулю. Но в классической механике вектор силы не зависит от системы отсчёта. Опыт показывает, что таким вектором силы является. Эта сила называется силой Лоренца. Здесь - вектор напряжённости электрического поля.

В частном случае, когда частица движется только в магнитном поле (т.е.), сила Лоренца совпадает с магнитной силой Лоренца. Однако, если перейти в систему отсчёта, где частица в данный момент времени покоится (), то в этой системе будет. Но вектор силы Лоренца не должен измениться, поэтому

.

Несмотря на то что в старой системе отсчёта электрического поля не было:, в новой системе отсчёта появится электрическое поле, напряжённость которого.

Пример. Рассмотрим движение положительно заряженной частицы в скрещенных электрическом и магнитном полях, для случая, когда. Масса частицы m.

Решение. Введём декартову систему координат так, чтобы вектор был направлен вдоль оси Y, а вектор вдоль оси Z, будем считать, что начальная скорость частицы направлена вдоль оси Y, т.е. в координатной форме записи,,. Предположим, что в начальный момент времени (t=0) частица находилась в начале координат.

X

Z

E

Y

v₀

B

Уравнение динамики (второй закон Ньютона) для частицы:

,

т.к.

,

(- орты осей декартовой системы координат), то, учитывая заданные значения, уравнения динамики в координатах примут вид:

Решение третьего уравнения имеет вид. Из первых двух уравнений выражаем скорости, и подставляем в ускорения: и.

Получим уравнение для определения: и его решение.

Уравнение для определения:, и его решение.

Подставляем начальные условия при t =0 и для скоростей получаем следующие соотношения:

,,.

Соотношения для координат:

,

,

z=0.

Анализ траектории движения частицы представляет собой дополнительное исследование.

Дата добавления: 2014-01-06