Отражение и преломление плоской волны на границе

Освещённость.

Освещённость – это отношение величины светового потока, падающего на элемент поверхности к величине площади:. Единица измерения – люкс (лк): 1 лк=1 лм/1 м².

Светимость – отношение светового потока, испускаемого площадкой по всем направлениям, к величине этой площадки:

.

Яркость – характеристика излучения света площадкой dS в данном направлении - отношение силы света, испускаемой источником в данном направлении к величине проекции площадки на плоскость, перпендикулярную данному направлению:

.

Оптическая длина хода лучей.

Распространение волн удобно описывать с помощью понятия луча.

лучи

волновые векторы

фазовая поверхность

Луч – линия в пространстве, касательная к которой в каждой точке направлена как волновой вектор. Таким образом, фазовая поверхность волны и касательная к лучу в точке их пересечения перпендикулярны друг к другу.

Если волновой вектор задаётся в координатах, то уравнение луча имеет вид:.

Для плоской волны лучи – это прямые, перпендикулярные фазовой поверхности. Для сферической волны - это прямые, выходящие из источника по радиальным направлениям.

В оптике геометрической длиной хода лучей l принято называть длину луча, а оптической длиной хода лучей величину, где n – показатель преломления вещества. В случае, когда показатель преломления вещества постоянный, оптическая длина хода лучей равна произведению показателя преломления на геометрическую длину хода:.

Замечание. Физический смысл оптической длины хода можно уяснить из равенства:

,

(v – фазовая скорость света в веществе). Т.е. это расстояние, которое пройдет свет в вакууме за тот же интервал времени D t, в течение которого он движется в веществе с показателем преломления n.

Уравнение плоской электромагнитной волны наиболее просто записывается с помощью понятия луча:

,,

где l – геометрическая длина хода. Отсюда видно, что геометрическая длина хода может быть определена, как говорят, «с точностью» до длины волны.

Из двух сред, та среда, показатель преломления у которой больше, называется оптически более плотной. Среда с меньшим показателем преломления называется, соответственно, оптически менее плотной средой.

раздела двух диэлектриков.

Рассмотрим падение плоской электромагнитной волны на плоскую границу раздела двух диэлектриков.

Плоскостью падения волны называется плоскость, перпендикулярная границе раздела сред и содержащая волновой вектор падающей волны.

Будем предполагать, что волна является линейно-поляризованной. Уравнения волны,,.

Ход каждой из волн зададим с помощью лучей и соответствующих волновых векторов.

k ₂

n ₁

n ₂

a₁

a₂

k ₁

k ₃

a₃

X

Y

Z

E ₁

H ₁

E ₃

H _3Z

E ₂

H _2Z

Рассмотрим любую точку на границе. В ней пересекаются три луча – луч падающей волны, луч прошедшей волны и луч отражённой волны.

Вдоль границы введём систему координат так, чтобы волновой вектор падающей волны лежал в плоскости (XY), где ось X направлена вдоль границы, а вектор Y перпендикулярен ей, а начало координат совпадало с выбранной точкой.

Тогда, где угол a ₁ между нормалью к границе (осью Y) и лучом падающей волны будем называть углом падения.

Будем обозначать параметры падающей волны индексом «1», прошедшей волны - индексом «2», а отражённой – «3». Введём угол преломления a₂ и угол отражения a₃ - углы между нормалью и соответствующими лучами. Тогда

,.

В общем случае падающую волну можно представить в виде суперпозиции двух волн, у которых плоскости поляризации взаимно перпендикулярны. Поэтому рассмотрим падение волн с такой поляризацией по-отдельности.

1) Рассмотрим случай, когда в падающей волне вектор параллелен границе, а вектор лежит в плоскости (XY), т.е.. Как говорят, волна поляризована в плоскости падения.

Так как на границе должны выполняться условия и, то и, и.

Кроме того, на границе выполняются условия и,

поэтому,.

Как следует из этих уравнений проекции E _2Z, E _3Z, H _2X, H _3X, H _2Y, H _3Y не связаны никакими уравнениями с параметрами падающей волны. Поэтому их можно не рассматривать, т.е. считать равными нулю. Следовательно, прошедшая и отражённая волны являются линейно-поляризованными, т.к.

,,,.

Тогда волновые векторы тоже лежат в плоскости (XY):

,.

Уравнения для напряжённостей всех трех волн

,,.

Для них должно выполняться условие на границе. Точки границы задаются радиус-вектором, поэтому на границе выполняется равенство:

.

В частности, в точке x =0:.

E _01X

E _03X

E _02X

На амплитудно-векторной диаграмме сумма трёх векторов постоянной длины не будет зависеть от времени, если только угловые скорости вращения этих векторов одинаковые:. Т.е. частоты всех трёх волн одинаковые. Обозначим эту частоту w.

Теперь зафиксируем какой-то момент времени t ₀. Тогда в любой точке границы (для любого значения x) выполняется равенство:

.

Так как величина x является параметром, то волновые числа k _{1 X}, k _{2 X}, k _{3 X} будут являться аналогом угловой скорости вращения векторов,, на амплитудно-векторной диаграмме. Следовательно, равенство возможно только в случае, когда k _{1 X} = k _{2 X} = k _{3 X}.

Из k _{1 X} = k _{2 X} следует соотношение. Т.к. и, то угол падения и угол преломления связаны соотношением:

(закон Снеллиуса).

k ₂

n ₁

n ₂

a₁

a₂

k ₁

k ₃

a₃

X

Y

Z

E ₁

H ₁

E ₃

H _3Z

E ₂

H _2Z

Из k _{1 X} = k _{3 X} следует соотношение. Т.к. падающая и отражённая волны распространяются в одной среде, то, откуда - угол отражения равен углу падения.

Найдём соотношения между величинами напряжённостей. Предположим, что векторы напряжённостей электрического и магнитного полей в падающей, прошедшей и отражённой волнах в некоторый момент времени имеют направления, указанные на рисунке. Тогда, и.

Условие примет вид:

.

Из условия: получаем равенство:

Получаем систему из двух уравнений

.

Из закона преломления следует, что уравнения выполняются в случае нормального падения волны на границу.

Предположим, что. Первое уравнение умножаем на, а второе на и, вычитая из первого уравнения второе, получаем:

.

Преобразуем это уравнение

В этом уравнении коэффициенты при и не зависят от времени. Поэтому они должны быть равными нулю. Равенства

, и

выполняются одновременно при и.

Перепишем эти условия в виде и получим, что

, т.е. начальные фазы падающей и отражённой волн либо равны, либо отличаются друг от друга на p. Поэтому (либо). Тогда можно записать:

.

Для оптически прозрачных сред, поэтому. С учётом, можно провести некоторые преобразования и получить

.

Величины амплитуд Е ₀₁ и Е ₀₃ положительные.

Т.к. a₁ £ p/2 и a₂ £ p/2, то a₁+a₂ £ p, поэтому tg (a₁+a₂) ³ 0.

Следовательно, в случае a₁-a₂ ³ 0, (т.е. когда tg (a₁-a₂) ³ 0) должно быть

- фаза отражённой волны отличается от фазы падающей волны на p.

В этом случае a₁ ³ a₂, поэтому, т.е. волна отражается от оптически более плотной среды.

Случаю a₁-a₂ < 0 соответствует отражение от оптически менее плотной среды и фаза отражённой волны совпадает с фазой падающей волны.

Возможен случай, когда нет отражённой волны: Е ₀₃= 0. Это возможно либо при tg (a₁-a₂)=0, т.е. a₁=a₂ - волна не преломляется, либо при tg (a₁+a₂)→ +¥, т.е. a₁+a₂ =p/2 - волновые векторы преломлённого луча и отражённого луча взаимно перпендикулярны.

Тогда равенство Е ₀₃=0 равносильно. Но, поэтому. Следовательно, если тангенс угла падения равен относительному показателю преломления двух сред,

то при отражении света от границы между ними нет волны, плоскость поляризации которой совпадает с плоскостью падения. Этот угол называется углом Брюстера.

Дальнейшее решение приводит к выражению:

.

Величины амплитуд Е ₀₁ и Е ₀₂ положительные.

Т.к. a₁£p/2 и a₂£p/2, то a₁+a₂£p, поэтому sin (a₁+a₂)³0 и cos (a₂-a₁)³0. Следовательно, должно быть, т.е. фазы прошедшей и падающей волн совпадают.

2) Рассмотрим случай, когда в падающей волне вектор параллелен границе, а вектор лежит в плоскости (XY), т.е.. Волна поляризована в плоскости, перпендикулярной плоскости падения.

Так как на границе должны выполняться условия и, то

и, и.

Кроме того, на границе выполняются условия и,

поэтому,.

Координаты E _2X, E _3X, E _2Y, E _3Y, H _2Z, H _3Z, не связаны никакими уравнениями с параметрами падающей волны. Поэтому их можно не рассматривать, т.е. считать равными нулю. Следовательно, прошедшая и отражённая волны являются линейно-поляризованными, т.к.

,,,.

Результаты решения для этого случая сформулируем следующим образом.

Законы преломления остаются прежними,.

Т.к. a₁£p/2 и a₂£p/2, то a₁+a₂£p, поэтому tg (a₁+a₂)³0.

Следовательно, в случае a₁-a₂³0, (т.е. когда sin (a₁-a₂)³0) должно быть

- фаза отражённой волны отличается от фазы падающей волны на p.

В этом случае a₁³a₂, поэтому, т.е. волна отражается от оптически более плотной среды.

Случаю a₁-a₂<0 соответствует отражение от оптически менее плотной среды и фаза отражённой волны совпадает с фазой падающей волны.

Поэтому должно быть, т.е. фазы преломлённой и падающей волн одинаковые.

В итоге, закон преломления можно сформулировать следующим образом. Волновые векторы всех трёх волн лежат в одной плоскости падения. Угол падения равен углу отражения, угол преломления связан с углом отражения соотношением

.

Фазы падающей и прошедшей волн одинаковые. Фаза отраженной волны отличается от фазы падающей волны на p при отражении от оптически более плотной среды.

Падающая волна, отражённая и преломлённая волны поляризованы одинаково. Но если волна, поляризованная в плоскости падения, падает под углом Брюстера, то отраженная волна отсутствует.

Дата добавления: 2014-01-06