Двулучевая интерференция)

Рассмотрим интерференцию от двух очень узких щелевых источников монохроматического света.

l ₁

l ₂

S ₂

S ₁

d

x

l

P

X

Э

D

O

I

Рассмотрим непрозрачную перегородку (D), в которой есть две узкие щели (S ₁ и S ₂), являющиеся источниками света. Интерференционную картину наблюдают на экране (Э). Расстояние между щелями много меньше расстояния между экраном и перегородкой: d << l.

Показатель преломления среды принимаем равным единице:.

Интерференционная картина на экране представляет собой череду параллельных тёмных и светлых полос. Будем предполагать, что начальные фазы колебаний от источников равны. Тогда центральная полоса (О), расположенная симметрично относительно источников будет всегда светлой. Вдоль экрана направим ось Х так, чтобы координата x =0 соответствовала точке О.

Оптическая разность хода лучей от источников до некоторой полосы (Р) равна

.

Т.к. d << l, то при небольших значениях x можно предполагать, что.

Учитывая, что и, получаем, что

.

Светлые полосы соответствуют максимуму интенсивности. В этом случае оптическая разность хода равна целому числу длин волн, откуда координаты максимумов:.

Два соседних максимума с номерами m и m +1 находятся на расстоянии, величина которого называется шириной интерференционной полосы:.

Тёмные полосы соответствуют минимуму интенсивности. В этом случае оптическая разность хода равна нечётному числу длин полуволн, откуда координаты минимумов:.

Два соседних минимума с номерами m и m +1 находятся на расстоянии. Т.е. расстоянии между соседними максимумами и соседними минимумами одинаковые.

Из формулы для ширины интерференционной полосы D x можно найти угловое расстояние между источниками g – угол, под которым видны из точки О источники S ₁ и S ₂.

Теперь предположим, что свет квазимонохроматический и содержит две волны с длинами l и l+Dl. Тогда на экране общая интерференционная картина является результатом наложения двух картин: для длин волн l и l+Dl. Координаты максимумов и минимумов для этих волн разные. Поэтому может произойти совпадение максимумов для одной длины волны с минимумами другой. Найдём номер первого совпадения из условия:

,

откуда. Следовательно, можно ожидать, что будут видны максимумы с номерами меньшими m. Т.к. нумерация начинается с номера m =0, отвечающего центральному максимуму, то общее число (первых) различимых полос будет равно:.

Величина называется степенью монохроматичности света.

Следовательно, число видимых полос прямо пропорционально степени монохроматичности света. Чем больше степень монохроматичности, тем больше интерференционных полос видно – можно сказать, что в этом случае свет «ближе» к монохроматичному.

На границе видимой интерференционной картины оптическая разность хода

зависит только от параметров волны.

Вся интерференционная картина будет заключена в области, размер которой

.

Учитывая, что величина определяет угловой размер источника, получаем соотношение, не зависящее от геометрических размеров установки для наблюдения интерференции:

.

Теперь рассмотрим эту модель по-другому. Найдём суперпозицию волны с длиной l от источника S ₁ c волной длины l+Dl от источника S ₂.

,

.

Полагая, получим. Тогда для амплитуды суммарного колебания получим:

,

.

В любой точке экрана амплитуда результирующего колебания зависит от времени. Период времени, за который величина амплитуды дойдёт от нулевого значения до максимального и обратно, называют временем когерентности:

.

Длиной когерентности называется расстояние проходимое светом за время, равное времени когерентности.

Как видно, эта величина пропорциональна максимальной разности хода лучей квазимонохроматических волн, при которой еще видна интерференционная картина.

D L

r

b

О

l

Теперь предположим, что щель имеет конечные размеры. И пусть свет будет монохроматическим. Будем рассматривать интенсивность в центральной точке экрана (О).

Если разность хода лучей от центральной точки щели и какой-то точки на расстоянии r от неё до точки О равна нечётному числу длин полуволн, то в этой точке экрана волны от этих двух точек будут колебаться в противофазе, следовательно, будут «гасить» друг друга. Поэтому в щели можно выделить симметричную зону длиной такую, что источники внутри этой зоны не «гасят» друг друга, т.к. оптическая разность хода лучей от них до точки О не больше.

С учётом малости углов, где - угловой размер центральной части источника. Тогда, условие того, что в точке О не будет волн, колеблющихся в противофазе, можно записать в виде. Т.е. расстояние между крайней и центральной точками протяжённого источника монохроматического излучения должно определяться соотношением, тогда в центральной точке экрана будет наблюдаться максимальная интенсивность.

Пространственная и временная когерентность.

Волны естественного излучения являются суперпозицией множества волн от точечных источников, излучающих спонтанно. Даже в волне, спонтанно испущенной одним источником, частота меняется в узком диапазоне. Фазы двух волн излучённых друг за другом одним источником никак не связаны друг с другом. Все это приводит к тому, что в результирующей волне частота и фаза являются усреднёнными величинами по излучению множества источников. Поэтому их значения колеблются случайным образом около неких средних значений. Следовательно, колебания разных точек волновой поверхности, вообще говоря, могут не быть когерентными.

Рассмотрим две разные точки одной волновой поверхности в один и тот же момент времени. Максимальное расстояние (вдоль этой поверхности), на котором излучение в точках ещё являются когерентными, называется радиусом пространственной когерентности. Эта величина определяется соотношением,

где l - основная длина волны, g - угловой размер источника (из точки наблюдения).

Пример. Для излучения Солнца l=0,55 мкм, g»0,01 рад. Откуда r»0,05 мм. Это значит, что для наблюдения интерференционной картины от солнечного света, необходимо, чтобы две щели в непрозрачном экране находились на расстоянии не более 0,05 мм. При этом можно оценить размер интерференционной картины из соотношения. Если принять, что для солнечного света Dl»0,2 мкм, то м. Изображение такого размера увидеть невооружённым глазом практически невозможно.

Для увеличения размера изображения необходимо уменьшить угловой размер источника. Это можно сделать с помощью ещё одного непрозрачного экрана, в котором сделана щель, свет из которой будет являться источником для двух других щелей.§

Так как начальная фаза волны естественного света меняется спонтанно, то разность фаз двух волн одинаковой частоты, испущенных из одной и той же точки волновой поверхности, но в разное время, вообще говоря, будет меняться во времени. Т.е. волны не будут являться когерентными. В этом случае говорят о временной когерентности.

Следовательно, если рассмотреть интерференцию лучей, прямо из щели попадающих на экран и лучей, попадающих после отражения от зеркала, интерференция возможна в случае, если разность хода лучей не больше длины когерентности

.

Поэтому можно определить время когерентности.

Пример. Для солнечного света длина когерентности м, поэтому интерференцию можно наблюдать только в тонких плёнках, а в оконном стекле – нет. Время когерентности с.

Приложение к лекции 14. Интерференция света в тонких плёнках.

Интерференционные полосы равной толщины и равного наклона. Применение интерференции, интерферометры.

Во многих оптических приборах используются линзы. Линзы обладают следующим свойством – оптическая разность хода параллельных лучей при прохождении через линзу не меняется. Это приводит, например, к тому, что время движения света вдоль любого из параллельных лучей от одной и той же фазовой плоскости до точки пересечения с какой-то фокальной плоскостью линзы не зависит от выбора луча. (Такое свойство называется таутохронностью.)

a₁

a₁

a₁

a₂

a₂

a₂

d

A

B

D

C

1₁

1₂

1₂₂

1₃₂

2₂

2₁

2₃

Для солнечного света длина когерентности имеет порядок длины волны. Можно ожидать, что в тонких пленках или тонких зазорах, размер которых сопоставим с длиной волны света, будет наблюдаться интерференционная картины.

Интерференционные полосы равного наклона.

Пусть на тонкую прозрачную пластинку под углом a₁ падает свет. Показатель преломления окружающей среды n ₁, а материала пластинки - n ₂. Толщина пластинки d.

Луч 1₁ соответствует 1-й волне, падающей на пластинку, 1₂ – преломлённой, 1₂₂ – отраженной от нижней поверхности, 1₃₂ – еще раз преломлённой и вышедшей обратно.

Луч 2₁ соответствует 2-й волне, падающей на пластинку, 2₂ - один раз преломлённой и 2₃ - один раз отражённой 2-й волне. Другие отражения и преломления не учитываем.

Будем рассматривать интерференцию лучей 1₃₂ и 2₃. Оптическая разность хода этих лучей или

.

С учётом закона преломления и тригонометрического тождества

:

,

,

.

Теперь предположим, что - т.е. вторая среда оптически более плотная, чем первая. В этом случае фаза отражённого луча 2₃ отличается от фазы падающего луча 2₁ на p. Это равносильно тому, что оптическая длина хода 2 луча изменилась на. Действительно, изменение фазы будет равно.

Поэтому условие интерференционных максимумов имеет вид:. Откуда:

.

(Знак «+» берём в случае, если нумерация начинается с m =0).

Соответственно, интерференционные минимумы определяются соотношением

.

Если отражённые лучи пропустить через собирающую линзу, в фокальной плоскости которой находится экран, то на экране получится интерференционная картина. Лучи, угол падения которых соответствует условию максимума при отражении, после отражения формируют светлые полосы. Поэтому такую картину называют «полосы равного наклона». Это интерференционная картина в отражённом свете, по аналогии можно получить интерференционную картину в проходящем свете.

Дата добавления: 2014-01-06