Интерференция волн

Интерференция волн – взаимное усиление или ослабление когерентных волн при их наложении друг на друга (суперпозиции волн при одновременном распространении в пространстве), что приводит к перераспределению энергии колебаний, устойчивому во времени.

Наиболее выраженная интерференционная картина наблюдается в случае наложения волн одного направления. Применительно к электромагнитным волнам это означает, что плоскости поляризации волн должны быть одинаковыми.

Рассмотрим такие две плоские электромагнитные волны, распространяющиеся в разных направлениях, у которых плоскости поляризации параллельны оси Z.

1) Пусть амплитуды волн одинаковые. Вдоль лучей уравнения волн будут иметь вид

,.

По принципу суперпозиции волновых полей

,

.

Если амплитуду результирующей волны записать в виде

,

то суперпозиция волн описывается уравнением:

где

q=0 при,

и q=p при.

Амплитуда результирующей волны

не будет зависеть от времени в случае, если частоты волн совпадают w₁=w₂

и величина не зависит от времени.

Замечание. В естественном излучении содержатся волны, испущенные атомами вещества при спонтанных и вынужденных процессах излучения, при этом доля спонтанного излучения значительно больше доли вынужденного. Но при спонтанном излучении, даже в случае равенства частот, начальные фазы волн, испускаемых атомами, никак не согласованы друг с другом. Время процесса излучения каждого атома очень мало и, поэтому при длительном наблюдении суперпозиции волн величина, вообще говоря, будет меняться во времени хаотическим образом.

Когерентными называются волны, разность фаз которых не зависит от времени.

Всякая реальная световая волна представляет собой суперпозицию волн, длины которых заключены в некотором интервале Dl. Световая волна (волновой пакет), для которой Dl<<l, называется квазимонохроматической.

Для монохроматических волн условие когерентности равносильно равенству частот этих волн w₁=w₂, но в общем случае необходимо еще и равенство начальных фаз.

Предположим, что волны являются когерентными, а начальные фазы равны нулю. В этом случае величина результирующей амплитуды

зависит от величины.

В случаях, когда или и т.д., т.е. при суммарная амплитуда равна нулю: (т.к. для любого натурального m число (2 m +1) всегда нечётное).

Но в случаях, когда или и.т.д., т.е. при, суммарная амплитуда максимальная:.

Так как интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды, то в точках пространства, где амплитуда равна нулю, результирующая интенсивность тоже равна нулю, а при максимальной амплитуде результирующей волны интенсивность тоже будет максимальной.

Рассмотрим подробнее величину. Фазовая скорость волны определяется показателем преломления вещества, а циклическая частота колебаний связана с периодом соотношением, поэтому. Однако, длина электромагнитной волны в вакууме равна, а величина является оптической длиной хода лучей, следовательно.

В случае равенства частот двух волн: w₁=w_2: их длины волн в вакууме тоже одинаковые:. Поэтому можно переписать условия минимумов и максимумов результирующей амплитуды (или интенсивности).

Условие минимума примет вид:

, откуда.

Если для оптической разности хода лучей ввести обозначение, то условие минимума примет вид:

,.

Соответственно, для максимумов:

Будем в дальнейшем называть разность оптических длин хода лучей просто оптической разностью хода лучей (или волн).

Условие минимума. Если оптическая разность хода лучей до точки наблюдения равна нечётному числу длин полуволн (в вакууме), то в точке наблюдается минимум интерференционной картины:.

Условие максимума. Если оптическая разность хода лучей до точки наблюдения равна целому числу длин волн (в вакууме), то в точке наблюдается максимум интерференционной картины:.

2) Пусть в пространстве перекрываются два волновых поля с разными амплитудами

O

Y

X

y ₂

j_å

x ₂

x ₁

x _å

y _å

y ₁

a₂

a₁

А_å

E₀₁

E₀₂

d

,.

Рассмотрим соответствующую амплитудно-векторную диаграмму. По теореме косинусов

.

Учтем, что,

где, тогда.

Для когерентных волн разность фаз волн должна быть постоянной во времени (в частности), поэтому результирующая амплитуда не зависит от времени

.

Для интенсивностей волн справедливы зависимости,, с одинаковыми коэффициентами пропорциональности, поэтому при интерференции

.

В тех точках пространства, где

наблюдается минимум интерференционной картины,

- максимум.

Пример. Рассмотрим эффект Вавилова-Черенкова.

Пусть заряженная частица движется по прямой линии в веществе с постоянной скоростью, величина которой больше фазовой скорости света в веществе:. При своём движении частица непрерывно излучает электромагнитные волны, которые можно рассматривать как сферические. Когда, например, частица находилась в точках А ₁ и А ₂ она излучила две сферические волны. Скорость волны меньше скорости частицы, поэтому в направлении движения частицы вторая волна «обгонит» первую. Но в этом случае к этим двум сферическим поверхностям в какой-то момент времени можно построить общую касательную плоскость. Обозначим точки касания В ₁ и В ₂. Лучи А ₁ В ₁ и А ₂ В ₂ параллельны друг другу и перпендикулярны этой плоскости.

A ₁

B ₁

v

q

A ₂

B ₂

q

k

Общая касательная плоскость

При дальнейшем движении фазовых поверхностей выбранных двух сферических волн касательная плоскость будет также двигаться в направлении лучей А ₁ В ₁ и А ₂ В ₂ со скоростью равной фазовой скорости света. Можно рассматривать эту плоскость как фазовую поверхность некоторой плоской волны (с волновым вектором). Но тогда фазы плоской волны (на этой плоскости), первой сферической и второй сферической волн в точках касания В ₁ и В ₂ должны быть одинаковыми. Следовательно, разность фаз сферических волн, в направлении задаваемом углом q, постоянна и равна 0. Волны являются когерентными в данном направлении и при интерференции усиливают друг друга.

Тогда из равенства промежутков времени и из рисунка

следует.

Откуда

.

Касательных плоскостей, соответствующих другим значениям углов не существует, поэтому разность фаз волн в этих направлениях не будет постоянной, следовательно, волны не будут когерентными.

Если же скорость частицы меньше фазовой скорости света, то указанную касательную плоскость построить невозможно.

Интерференция двух цилиндрических волн.

Дата добавления: 2014-01-06