Температурное поле в плоской стенке при наличии тепловыделений

Плотность объемного тепловыделения

Теплопроводность плоской стенки при наличии внутренних источников тепла

В рассматриваемых ранее задачах внутренние источники тепла отсутствовали. Однако в ряде случаев внутри объектов исследования могут протекать процессы, в результате которых будет выделяться или поглощаться тепло, например, выделение джоулева тепла при протекании электрического тока; выделение или поглощение тепла при протекании химических реакций.

Количественно интенсивность объемного выделения (поглощения) тепла характеризуется плотностью объемного тепловыделения q_v – тепловым потоком, выделившимся в единице объема. Величина q_v также имеет два названия: удельная производительность внутренних источников тепла или объемная плотность теплового потока. В зависимости от знака q_v говорят об источниках или стоках тепла; в зависимости от особенностей изменения величины q_v в пространстве различают точечные, линейные, поверхностные и объемные источники тепла.

Рассмотрим длинную пластину, толщина которой 2d – величина малая по сравнению с двумя другими размерами (рис. 1). Источники тепла равномерно распределены по всему объему и равны q_v = const. Заданы постоянные коэффициенты теплоотдачи α = const и температура жидкости вдали от пластины t_ж = const. Благодаря симметричному отводу теплоты температуры обеих поверхностей пластины одинаковы.

Рис. 1

При указанных условиях температура пластины будет изменяться только вдоль оси х, направленной нормально к поверхности тела. Температуры на оси пластины t₀ и на ее поверхности t_с неизвестны. Кроме этих температур, необходимо найти распределение температуры в пластине t=f(x) и количество тепла, отданного в окружающую среду.

Дифференциальное уравнение теплопроводности

для стационарного режима и при наличии источника тепла имеет вид

где - оператор Лапласа.

В одномерном случае (примером является плоская пластина, толщина которой много меньше двух других ее размеров) дифференциальное уравнение теплопроводности (1) упрощается, т.к. и в декартовой системе координат после деления на α=λ/сr получим дифференциальное уравнение теплопроводности в бесконечной пластине:

После интегрирования уравнения (2) получим:

разделяем переменные

И после второго интегрирования имеем уравнение параболы

Постоянные интегрирования определяются в зависимости от условий охлаждения на поверхности пластины.

Поскольку граничные условия для обеих сторон пластины одинаковые, температурное поле внутри пластины должно быть симметричным относительно плоскости х = 0. В этой точке плотность теплового потока равна нулю.

Тепло с одинаковой интенсивностью отводится через левую и правую поверхности тела. Одинаково и тепловыделение в обеих половинах пластины.

Это означает, что можно далее рассматривать лишь одну половину пластины, например, правую, и записать для нее граничные условия в следующем виде:

Постоянные интегрирования С₁ и С₂ определяются из граничных условий (5). Из уравнения (3) при х=0 получим С₁=0.

Запишем уравнение (4) при х=d и разрешим его относительно С₂:

С₂=t_c+q_vd²/2λ.

Затем вместо tc подставим его значение, полученное из (5). Окончательно получим:

.

Тогда уравнение температурного поля определяется по формуле

из которого следует, что температура в плоской стенке в случае симметричной задачи распределяется по параболическому закону.

В рассматриваемой задаче плотность теплового потока изменяется вдоль оси х по закону q(x) = q_vx. Тепловой поток с единицы поверхности пластины (при х = d) q =α (t_с - t_ж) = q_vd, и общее количество тепла, отданное всей поверхностью в единицу времени,

Так как . Температура на оси симметрии пластины (при х = 0) а перепад температур между осью симметрии стенки и ее поверхностью

Если коэффициент теплопроводности материала стенки является линейной функцией температуры λ=λ₀(1+bt), то уравнение температурной кривой определяется выражением

Дата добавления: 2014-01-07