Гипербола. Вывод канонического уравнения. Асимптоты

Def.	Гиперболой называют геометрическое место точек плоскости, разность расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (меньшая, чем расстояние между фокусами).

Пусть 2 с – расстояние между фокусами;

2 а – постоянная величина (2 a < 2 c);

r₁ – первое расстояние (левый фокальный радиус);

r₂ – второе расстояние (правый фокальный радиус).

Очевидно, что c>0, a>0, r₁>0, r₂>0.

Тогда уравнение гиперболы (по определению):

, причем .

Получим уравнение гиперболы в д.п.с.к. X0Y.

Расположим ось 0Х так, чтобы фокусы F₁ и F₂ принадлежали ей, ось и начало координат 0 – являлось серединой отрезка [ F₁;F₂ ].

Тогда координаты фокусов – F₁(-c;0), F₂(c;0).

Пусть т. M(x;y) –«текущая» точка гиперболы.

По теореме Пифагора из прямоугольного Δ F₁ MN:

.

Из прямоугольного Δ F₂ MN:

.

Учитывая, что , получим , или

.

.

Note 1

Дома или на п/з (следуя методу решения п. 3.5) после замены , вывести   – каноническое (простейшее) уравнение гиперболы.

Дата добавления: 2014-01-06