V. Примеры итерационных методов

II. Метод узловых давлений (напряжений) для расчета параметров систем с сосредоточенными параметрами. №21

Пример 3. Системы газоснабжения. №20

Пример 2. Системы водоснабжения. №19

I этап.

I

II

III

IV

V

Элементы: Участки труб (лимитные участки системы),

II этап. Строим модель отрезка

Расход на каждом отрезке является постоянным Q_(m)=const (1)

Закон квадратичного изменения (Закон Дарси):

Изменение давления пропорционально коэффициенту сопротивлении, умноженному на расход в квадрате:

Из этих уравнений следует:

D – диаметр.

(1) (2) (3) – модель отрезка, который построен на основе закона сохранение электроэнергии

Рассмотрим теперь узлы:

1) (Соединение) Разветвление

Баланс объема воды:

Условия примыкания:

2)

3)

Сжимаемый газ, будем рассматривать изотермическое течение, т.е. Т=const

RT=const=c²=400 м/с

Законы сохранение действие в газе:

§ M – массовый расход

§ ω – площадь поперечного сечения трубы

§ v – средняя скорость по сечению газа

Расход на участке трубы постоянный

Q_(m)=const

D=сonst – диаметр

Второй закон:

Умножаем левую и правую части на ρ:

Из (3) получаем модель, которая описывает состояние на отрезке:

Модель является моделью отрезков, которая построена на основе законов сохранения

Модель узла:

I этап. №1 – источник (например, компрессорная станция).
P* – давление =const – задано

II этап. №2 – потребитель Q_* – расход =const – задано

III этап. №3 – узел соединения

К.С. I

(1)  

II  

(2)  

(3)  

Если просуммируем все законы: Баланс:

II Закон Киргофа: Условия инцидентности, примыкания

Элемент (Линейные участки), (узлы)

Линейные участки: из законов сохранения → 3 параметра(*)

Узел: тип, законы, 2 параметра.

(1)

(2)

(3)

(4)

m=1,…,M – отрезков j=1,…,J – узлов

A, G

Построить матрицу A

j=1,…,J

Находим первое приближение:

Потом строим второе приближение, пересчитываем a и матрицы. Делаем итерации до тех пор, пока точность будет не больше i.

j

n×n<<N×N

II этап. Исключается для x₂, i≥3

Надо построить матрицу S, чтобы обеспечить условие.

Теорема 1. Для того, чтобы итерационный процесс по формуле (3) сходился, необходимо и достаточно, чтобы собственные числа матрицы S были <1, т.е.

Следствие теоремы: если норме матрицы S=g<1, т.е., то процесс по формулам (3) сходится.

Лемма (Неймона) Если собственные числа матрицы S по модулю <1, то матричный ряд E+S+S²+… сходится и его сумма равна, т.е.

…

А) Метод простой итерации с выбором итерационного параметра (τ). №26

Матрица тогда все соответствующие числа.

, cимметричная, определенно положительная матрица.

Будем считать, что. Тогда соответствующие числа будут равны.

Тогда норма матрицы будет минимальной.

Б) Метод Якоби. №27

Применяется только в том случае, когда матрица имеет строгое диагональное преобладание

…

В) Метод Зейделя (Гаусса-Зейделя). №28

…

Этот процесс сходится, если, тогда метод тоже сходится.

Построить матрицу для метода Гаусс Зейделя., (Достаточно не строгого диагонального преобладания).

Г) Метод вариационного типа. №29

Г1) Градиентного спуска (используется стационарные параметры)

Г2) Метод минимальных невязок (используются минимальные значения)

τ выбирается из min некоторого функционала I.

(симметрично положительно определенная)

Заключение!!!

Решаем систему, методом Гаусса (прямой, т.е. точный)

Дата добавления: 2014-01-07